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D1-3：no-11约束定义

定义概述​

no-11约束是二进制编码系统中的关键限制条件，要求编码序列中不能出现连续的"11"模式。该约束为φ-表示系统的构造提供基础。

形式化定义​

定义1.3（no-11约束）​

对于二进制编码系统，no-11约束定义为：

No11Constraint(Encode)≡∀s∈S:Encode(s)∉Pattern11\text{No11Constraint}(\text{Encode}) \equiv \forall s \in S: \text{Encode}(s) \notin \text{Pattern}_{11}

其中Pattern11\text{Pattern}_{11}表示包含连续"11"子串的所有二进制串的集合：

Pattern11={w∈{0,1}∗:w=u⋅11⋅v for some u,v∈{0,1}∗}\text{Pattern}_{11} = \{w \in \{0,1\}^* : w = u \cdot 11 \cdot v \text{ for some } u,v \in \{0,1\}^*\}

三种等价表述​

表述1：正则表达式形式​

满足no-11约束的字符串集合可表示为：

Validno11=(0∣10)∗⋅(1∣ε)\text{Valid}_{no11} = (0|10)^* \cdot (1|\varepsilon)

表述2：递归生成规则​

ValidString::=ε∣  0⋅ValidString∣  10⋅ValidString∣  1\begin{aligned} \text{ValidString} &::= \varepsilon \\ &\quad | \; 0 \cdot \text{ValidString} \\ &\quad | \; 10 \cdot \text{ValidString} \\ &\quad | \; 1 \end{aligned}

表述3：有限状态自动机​

状态集合：Q={q0,q1,qreject}Q = \{q_0, q_1, q_{reject}\}

转移函数：

δ(q0,0)=q0,δ(q0,1)=q1\delta(q_0, 0) = q_0, \quad \delta(q_0, 1) = q_1 δ(q1,0)=q0,δ(q1,1)=qreject\delta(q_1, 0) = q_0, \quad \delta(q_1, 1) = q_{reject}

接受状态：F={q0,q1}F = \{q_0, q_1\}

约束的基本性质​

性质1.3.1（前缀封闭性）​

no-11约束具有前缀封闭性：

s∈Validno11∧p is prefix of s⇒p∈Validno11s \in \text{Valid}_{no11} \land p \text{ is prefix of } s \Rightarrow p \in \text{Valid}_{no11}

性质1.3.2（扩展规则）​

对于满足约束的字符串ss：

  • 总是可以添加"0"：s0∈Validno11s0 \in \text{Valid}_{no11}
  • 仅当ss不以"1"结尾时可以添加"1"：s1∈Validno11  ⟺  s does not end with 1s1 \in \text{Valid}_{no11} \iff s \text{ does not end with } 1

性质1.3.3（计数序列）​

长度为nn的满足no-11约束的字符串数量记为Fn+2F_{n+2}，其中FkF_k是第kk个Fibonacci数：

F0=0,F1=1,Fk=Fk−1+Fk−2 for k≥2F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_k = F_{k-1} + F_{k-2} \text{ for } k \geq 2

递归关系：

N(0)=1,N(1)=2,N(n)=N(n−1)+N(n−2) for n≥2N(0) = 1, \quad N(1) = 2, \quad N(n) = N(n-1) + N(n-2) \text{ for } n \geq 2

性质1.3.4（信息容量）​

no-11约束下的渐近信息容量为：

Cno11=lim⁡n→∞log⁡2Fn+2n=log⁡2ϕC_{no11} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log_2 F_{n+2}}{n} = \log_2 \phi

其中ϕ=1+52\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}是黄金比例。

与φ-表示的关系​

双射对应​

存在双射映射：

Validno11↔Zeckendorf representations\text{Valid}_{no11} \leftrightarrow \text{Zeckendorf representations}

其中Zeckendorf表示是使用非连续Fibonacci数的唯一表示法。

φ-编码函数​

对于无"11"的二进制串bnbn−1⋯b1b_n b_{n-1} \cdots b_1：

ϕ-value(bnbn−1⋯b1)=∑i=1nbi⋅Fi\phi\text{-value}(b_n b_{n-1} \cdots b_1) = \sum_{i=1}^n b_i \cdot F_i

算法复杂性​

验证算法​

检验字符串是否满足no-11约束：

  • 时间复杂度：O(n)O(n)
  • 空间复杂度：O(1)O(1)

枚举算法​

生成所有长度为nn的满足约束的字符串：

  • 时间复杂度：O(Fn+2)O(F_{n+2})
  • 空间复杂度：O(n⋅Fn+2)O(n \cdot F_{n+2})

应用范围​

no-11约束在以下场景中发挥作用：

  • 前缀码构造
  • 信息压缩算法
  • 自指系统的稳定编码
  • 黄金比例进制系统

符号约定​

  • u⋅vu \cdot v：字符串连接
  • ε\varepsilon：空字符串
  • ∣s∣|s|：字符串ss的长度
  • FkF_k：第kk个Fibonacci数

依赖关系：

  • 基于：D1-2 (二进制表示定义)
  • 支持：D1-8 (φ-表示定义)

引用文件：

  • 引理L1-4将证明no-11约束的最优性
  • 引理L1-5将证明Fibonacci结构的涌现
  • 定理T2-3将建立约束优化定理

形式化特征：

  • 类型：定义 (Definition)
  • 编号：D1-3
  • 状态：完整形式化定义
  • 验证：符合严格定义标准

注记：本定义提供no-11约束的精确数学表述，所有最优性证明和必然性推导将在相应的引理和定理文件中完成。