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T7-1 复杂度层级定理 - 形式化描述

1. 形式化框架​

1.1 基础定义​

class ComplexityHierarchy:
    """复杂度层级系统"""
    
    def __init__(self):
        self.phi = (1 + sqrt(5)) / 2  # 黄金比例
        self.base_symbols = ['0', '1']
    
    def self_reference_depth(self, S: str) -> int:
        """计算二进制串的自指深度"""
        pass
    
    def complexity_class(self, n: int) -> Set[str]:
        """返回复杂度类Cₙ"""
        pass

1.2 自指深度定义​

class SelfReferenceDepth:
    """自指深度计算器"""
    
    def compute_depth(self, S: str) -> int:
        """
        计算串S的自指深度
        d(S) = min{n : S可以通过n次自指操作从基础串生成}
        """
        pass
    
    def is_self_referential(self, S: str) -> bool:
        """判断串是否包含自指结构"""
        pass

2. 主要定理​

2.1 复杂度层级定理​

class ComplexityHierarchyTheorem:
    """T7-1: 复杂度层级定理"""
    
    def verify_hierarchy(self) -> bool:
        """
        验证：C₀ ⊂ C₁ ⊂ C₂ ⊂ ... ⊂ Cₙ ⊂ Cₙ₊₁ ⊂ ...
        """
        return all(self.verify_strict_inclusion(n) for n in range(10))
    
    def verify_strict_inclusion(self, n: int) -> bool:
        """验证Cₙ ⊂ Cₙ₊₁且Cₙ ≠ Cₙ₊₁"""
        pass

2.2 对角化证明​

class DiagonalizationProof:
    """对角化证明实现"""
    
    def construct_diagonal_problem(self, n: int) -> Problem:
        """
        构造属于Cₙ₊₁但不属于Cₙ的问题
        """
        pass
    
    def verify_separation(self, P: Problem, n: int) -> bool:
        """验证P ∈ Cₙ₊₁ - Cₙ"""
        pass

3. 复杂度类定义​

3.1 复杂度类Cₙ​

class ComplexityClass:
    """复杂度类"""
    
    def __init__(self, n: int):
        self.level = n
        self.polynomial_bound = lambda x: x**(n+1)  # p(n) = n^(n+1)
    
    def contains(self, S: str) -> bool:
        """判断串S是否属于该复杂度类"""
        depth = self.compute_depth(S)
        length = self.phi_length(S)
        return depth == self.level and length <= self.polynomial_bound(self.level)

3.2 层级结构​

class HierarchyStructure:
    """层级结构管理"""
    
    def __init__(self):
        self.classes = [ComplexityClass(n) for n in range(100)]
    
    def classify(self, S: str) -> int:
        """返回串S所属的最低复杂度类"""
        for n, c_class in enumerate(self.classes):
            if c_class.contains(S):
                return n
        return float('inf')

4. φ-长度与复杂度​

4.1 长度增长定理​

class LengthGrowthTheorem:
    """φ-长度增长定理"""
    
    def verify_exponential_growth(self) -> bool:
        """
        验证：若S ∈ Cₙ₊₁ - Cₙ，则L_φ(S) ≥ φⁿ
        """
        for n in range(1, 10):
            S = self.find_minimal_in_class(n)
            if self.phi_length(S) < self.phi ** n:
                return False
        return True

5. 可判定性边界​

5.1 判定问题​

class DecidabilityBoundary:
    """可判定性边界"""
    
    def is_decidable_at_level(self, n: int) -> bool:
        """判断n层复杂度的成员问题是否可判定"""
        # 使用自指深度的有限性
        return n < self.decidability_threshold()
    
    def decidability_threshold(self) -> int:
        """返回可判定性阈值"""
        # 基于系统的自指能力
        return 42  # 示例值

6. 应用实例​

6.1 问题分类器​

class ProblemClassifier:
    """问题复杂度分类器"""
    
    def classify_problem(self, problem: str) -> int:
        """
        将问题分类到相应的复杂度类
        返回复杂度级别n
        """
        encoding = self.encode_problem(problem)
        return self.hierarchy.classify(encoding)

6.2 最优算法生成​

class OptimalAlgorithmGenerator:
    """最优算法生成器"""
    
    def generate_optimal(self, n: int) -> Algorithm:
        """
        为复杂度类Cₙ生成最优算法
        """
        # 使用φ-表示的最优性
        pass

7. 实验验证​

7.1 层级检测​

class HierarchyDetector:
    """层级检测器"""
    
    def detect_jump(self, algorithm: Algorithm) -> Tuple[int, int]:
        """
        检测算法从哪个层级跳跃到哪个层级
        返回(from_level, to_level)
        """
        pass

7.2 自然问题映射​

class NaturalProblemMapper:
    """自然问题映射器"""
    
    def map_known_problems(self) -> Dict[str, int]:
        """
        将已知计算问题映射到复杂度层级
        """
        return {
            "sorting": 0,          # C₀ - 直接操作
            "parsing": 1,          # C₁ - 一阶自指
            "type_checking": 2,    # C₂ - 二阶自指
            "termination": float('inf')  # C∞ - 无限自指
        }

8. 与其他定理的接口​

8.1 与T5-6的接口​

class KolmogorovInterface:
    """与Kolmogorov复杂度定理的接口"""
    
    def relate_to_kolmogorov(self, S: str) -> Tuple[int, int]:
        """
        返回(K(S), complexity_class(S))
        显示Kolmogorov复杂度与层级的关系
        """
        pass

8.2 与T2-10的接口​

class PhiRepresentationInterface:
    """与φ-表示系统的接口"""
    
    def optimal_encoding_in_class(self, n: int) -> str:
        """
        返回复杂度类Cₙ中的最优φ-编码
        """
        pass

9. 理论验证​

9.1 完整性验证​

class CompletenessVerification:
    """完整性验证"""
    
    def verify_all_problems_classified(self) -> bool:
        """验证所有可计算问题都被分类"""
        pass
    
    def verify_no_gaps(self) -> bool:
        """验证层级之间没有空隙"""
        pass

9.2 一致性验证​

class ConsistencyVerification:
    """一致性验证"""
    
    def verify_with_axiom(self) -> bool:
        """验证与唯一公理A1的一致性"""
        # 描述多样性的不可逆增加
        # 对应复杂度层级的严格性
        pass

10. 总结​

T7-1建立了基于自指深度的复杂度层级理论，这是从二进制宇宙的基本原理自然推导出的结果。层级的存在不是假设而是必然，每个层级代表了系统自我描述能力的一个质的飞跃。