T5-7 形式化规范：Landauer原理定理

定理陈述

定理5.7 (Landauer原理定理): 自指完备系统中的信息擦除需要最小能量代价。

形式化定义

1. 基本物理常数

# Boltzmann常数（J/K）
k_B = 1.380649e-23

# 室温（K）
T_room = 300.0

# 单比特擦除能量
E_bit = k_B * T * math.log(2)

2. 信息擦除的两种模式

class ErasureMode:
    BIT_ERASURE = "bit"      # 擦除具体的二进制位
    DESC_ERASURE = "desc"    # 从描述集合中移除描述

3. 比特擦除能量

def bit_erasure_energy(n_bits: int, T: float) -> float:
    """
    计算擦除n个比特所需的最小能量
    E_erase >= k_B * T * ln(2) * n_bits
    """
    return k_B * T * math.log(2) * n_bits

4. 描述擦除约束

def description_erasure_constraint(D_before: Set[str], D_after: Set[str]) -> bool:
    """
    验证描述擦除是否满足熵增原理
    |D_after| >= |D_before|（不能真正擦除描述）
    """
    return len(D_after) >= len(D_before)

5. 自指约束

def self_reference_preserved(system_after: SystemState) -> bool:
    """
    验证擦除后系统仍保持自指性
    SelfRef(S_after) = True
    """
    return system_after.is_self_referential()

验证条件

1. 最小能量验证

verify_minimum_energy:
    for all bit_erasures:
        E_actual >= k_B * T * ln(2) * n_bits

2. 描述不可擦除验证

verify_description_preservation:
    for all system_evolutions:
        |D_{t+1}| >= |D_t|

3. φ-表示能效验证

verify_phi_efficiency:
    E_phi / E_standard = n_phi / n_standard
    where n_phi = n_standard / log2(φ)

4. 可逆计算验证

verify_reversible_computation:
    if computation_is_reversible:
        E_compute >= 0  # 理论上可以零能量

实现要求

1. 热力学计算器

class ThermodynamicsCalculator:
    def __init__(self):
        self.k_B = 1.380649e-23
        self.phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
    
    def bit_erasure_energy(self, n_bits: int, T: float) -> float:
        """计算比特擦除能量"""
        return self.k_B * T * math.log(2) * n_bits
    
    def entropy_change(self, states_before: int, states_after: int) -> float:
        """计算熵变（单位：k_B）"""
        if states_before == 0 or states_after == 0:
            return float('inf')
        return math.log(states_after / states_before)
    
    def minimum_work(self, entropy_change: float, T: float) -> float:
        """计算最小功（焦耳）"""
        return self.k_B * T * entropy_change

2. 信息擦除模拟器

class InformationEraser:
    def __init__(self):
        self.calc = ThermodynamicsCalculator()
        self.history = []
    
    def erase_bits(self, state: str, positions: List[int]) -> Tuple[str, float]:
        """
        擦除指定位置的比特（设为0）
        返回：(新状态, 能量代价)
        """
        new_state = list(state)
        erased_count = 0
        
        for pos in positions:
            if 0 <= pos < len(state) and state[pos] == '1':
                new_state[pos] = '0'
                erased_count += 1
        
        energy = self.calc.bit_erasure_energy(erased_count, T=300)
        return ''.join(new_state), energy
    
    def transform_description(self, desc_from: str, desc_to: str) -> float:
        """
        描述转换（保持|D|不变）
        返回：能量代价（理论上可以为0）
        """
        # 可逆转换的理想情况
        return 0.0
    
    def compute_with_erasure(self, input_state: str, 
                           intermediate_bits: int) -> Tuple[str, float]:
        """
        带中间结果擦除的计算
        返回：(输出状态, 能量代价)
        """
        # 模拟计算过程中擦除中间结果
        energy = self.calc.bit_erasure_energy(intermediate_bits, T=300)
        # 简化的计算模型
        output = self._compute(input_state)
        return output, energy

3. φ-表示能效分析器

class PhiEfficiencyAnalyzer:
    def __init__(self):
        self.phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
        self.log_phi = math.log2(self.phi)
    
    def compare_erasure_cost(self, standard_bits: int) -> Dict[str, float]:
        """比较标准表示和φ-表示的擦除代价"""
        phi_bits = standard_bits / self.log_phi
        
        calc = ThermodynamicsCalculator()
        T = 300  # 室温
        
        standard_energy = calc.bit_erasure_energy(standard_bits, T)
        phi_energy = calc.bit_erasure_energy(int(phi_bits), T)
        
        return {
            'standard_bits': standard_bits,
            'phi_bits': phi_bits,
            'standard_energy': standard_energy,
            'phi_energy': phi_energy,
            'energy_ratio': phi_energy / standard_energy if standard_energy > 0 else 0,
            'efficiency_gain': (standard_energy - phi_energy) / standard_energy 
                             if standard_energy > 0 else 0
        }

4. 自指系统热力学

class SelfReferentialThermodynamics:
    def __init__(self, system: SelfReferentialSystem):
        self.system = system
        self.calc = ThermodynamicsCalculator()
    
    def verify_erasure_constraint(self, operation: str) -> bool:
        """验证擦除操作是否满足自指约束"""
        D_before = len(self.system.descriptions)
        
        # 执行操作
        self.system.perform_operation(operation)
        
        D_after = len(self.system.descriptions)
        
        # 验证熵增
        return D_after >= D_before
    
    def compute_operation_cost(self, operation: str) -> Dict[str, float]:
        """计算操作的热力学代价"""
        # 记录初始状态
        initial_state = self.system.state
        initial_descriptions = len(self.system.descriptions)
        
        # 执行操作
        bits_erased = self.system.perform_operation(operation)
        
        # 计算代价
        T = 300
        bit_cost = self.calc.bit_erasure_energy(bits_erased, T)
        
        # 检查描述集变化
        desc_change = len(self.system.descriptions) - initial_descriptions
        
        return {
            'bit_erasure_cost': bit_cost,
            'description_change': desc_change,
            'violates_constraint': desc_change < 0,
            'total_cost': bit_cost if desc_change >= 0 else float('inf')
        }

测试规范

1. 基本Landauer原理测试

验证比特擦除的最小能量要求

2. 描述不可擦除测试

验证自指系统中描述集合只增不减

3. φ-表示能效测试

比较不同表示方式的能量效率

4. 可逆计算测试

验证可逆操作的零能量可能性

5. 温度依赖性测试

测试不同温度下的能量要求

6. 局部性影响测试

验证no-11约束对擦除操作的影响

数学性质

1. 热力学第二定律

ΔS_universe >= 0

2. 信息-熵关系

S_info = k_B * ln(Ω)
其中Ω是微观状态数

3. 功-信息等价

W >= -T * ΔS_info

物理意义

1. 信息的物理实在性

   • 信息不是抽象概念，具有热力学代价
   • 擦除信息需要耗散能量

2. 自指系统的特殊性

   • 描述层面的不可擦除性
   • 只能转换，不能减少

3. 计算的物理极限

   • 不可逆计算的能量下界
   • 可逆计算的理论优势

依赖关系

• 依赖：T5-6（Kolmogorov复杂度定理）
• 依赖：T1-1（熵增必然性定理）
• 依赖：D1-4（时间度量）
• 依赖：D1-6（系统熵定义）
• 支持：C5-1（φ-表示的退相干抑制）