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T5-2 形式化规范：最大熵定理

定理陈述​

定理5.2 (最大熵定理): 在给定约束条件下，自指完备系统的系统熵趋向最大值。

形式化定义​

1. 系统熵定义（基于D1-6）​

system_entropy(S_t) = log2(|D_t|)

其中：

  • D_t = 时刻t所有不同描述的集合
  • |D_t| = 描述集合的基数

2. Shannon熵定义​

shannon_entropy(P_t) = -sum(p_i * log2(p_i) for p_i in P_t if p_i > 0)

其中：

  • P_t = 时刻t各描述的概率分布

3. 准稳态条件​

系统达到准稳态当：

is_quasi_steady_state(S_t) iff:
    1. shannon_entropy(P_t) ≈ max_shannon_entropy
    2. d|D_t|/dt ≈ 0
    3. system_entropy增长率 < ε (很小的阈值)

4. 最大熵渐近行为​

lim(t→∞) system_entropy(S_t) = log2(N_max)

其中N_max由以下因素决定：

  • no-11约束
  • 计算资源限制
  • Shannon熵达到最大值时的稳定状态

约束条件​

1. 熵增约束（来自T1-1）​

constraint_entropy_increase:
    system_entropy(S_t) ≤ system_entropy(S_{t+1})

2. Shannon熵上界（来自T5-1）​

constraint_shannon_bound:
    shannon_entropy(P_t) ≤ log2(φ)  # φ-表示系统

3. 描述产生率约束（来自T5-1）​

constraint_generation_rate:
    E[d|D_t|/dt] = α * (H_max^Shannon - H_Shannon(P_t))

验证条件​

1. 单调性验证​

verify_monotonicity:
    for all t: system_entropy(S_t) ≤ system_entropy(S_{t+1})

2. Shannon熵收敛​

verify_shannon_convergence:
    lim(t→∞) shannon_entropy(P_t) → max_shannon_entropy

3. 准稳态达成​

verify_quasi_steady_state:
    exists T such that for t > T:
        - shannon_entropy(P_t) > 0.99 * max_shannon_entropy
        - d|D_t|/dt < threshold

4. 两种熵的关系​

verify_entropy_relation:
    system_entropy >> shannon_entropy  # 由于递归描述

数学性质​

1. 渐近行为​

  • 系统熵单调递增但增长率递减
  • Shannon熵收敛到最大值
  • 描述产生率趋于零

2. 准稳态特征​

  • Shannon熵接近最大值（均匀分布）
  • 新描述产生率极低
  • 系统熵增长缓慢

3. 熵密度界限​

对于φ-表示系统：

shannon_entropy_density ≤ log2(φ) ≈ 0.694 bits/symbol

实现要求​

1. 描述集合追踪​

class DescriptionSet:
    def __init__(self):
        self.descriptions = set()
    
    def add(self, desc):
        """添加新描述"""
        self.descriptions.add(desc)
    
    def size(self):
        """返回不同描述的数量"""
        return len(self.descriptions)

2. 熵计算​

def compute_system_entropy(desc_set):
    """计算系统熵"""
    return math.log2(desc_set.size()) if desc_set.size() > 0 else 0

def compute_shannon_entropy(probabilities):
    """计算Shannon熵"""
    return -sum(p * math.log2(p) for p in probabilities if p > 0)

3. 准稳态检测​

def is_quasi_steady_state(system, threshold=0.01):
    """检测是否达到准稳态"""
    shannon_ratio = system.shannon_entropy / system.max_shannon_entropy
    growth_rate = system.description_growth_rate
    
    return shannon_ratio > 0.99 and growth_rate < threshold

测试规范​

1. 熵增测试​

验证系统熵始终递增

2. Shannon熵收敛测试​

验证Shannon熵收敛到最大值

3. 准稳态测试​

验证系统最终达到准稳态

4. 两种熵关系测试​

验证系统熵远大于Shannon熵

5. 增长率衰减测试​

验证描述产生率随Shannon熵增加而减少

依赖关系​

  • 依赖：T5-1（Shannon熵涌现定理）
  • 依赖：T1-1（熵增必然性定理）
  • 依赖：D1-6（系统熵定义）
  • 支持：T5-3（信道容量定理）

物理意义​

  1. 两种熵的不同角色：

    • Shannon熵：控制系统动力学和创新速度
    • 系统熵：衡量累积的结构复杂度

  2. 准稳态的本质：

    • 不是绝对静止
    • 而是创新速度极慢的动态平衡

  3. 无限性与有限性的统一：

    • 理论上无限的描述空间
    • 实际上有限的创新速度