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T27-3 Zeckendorf-实数极限跃迁定理 - 形式化规范

形式系统定义​

语言 L_Z∞​

Sorts:
  Z_N    : 有限精度Zeckendorf数
  Z_∞    : 无限精度Zeckendorf序列  
  R_φ    : φ-结构化实数
  N      : 自然数
  Map    : 映射类型
  
Functions:
  ⊕_N    : Z_N × Z_N → Z_N           (Zeckendorf加法)
  ⊗_N    : Z_N × Z_N → Z_N           (Zeckendorf乘法)
  +_φ    : R_φ × R_φ → R_φ           (φ-实数加法)
  ×_φ    : R_φ × R_φ → R_φ           (φ-实数乘法)
  Φ_N    : Z_N → R_φ                 (极限映射)
  d_Z    : Z_N × Z_N → R_φ           (Zeckendorf度量)
  S      : Z_N → R_φ                 (熵函数)
  F      : N → N                     (Fibonacci函数)
  
Relations:
  →      : Convergence relation
  ≈_N    : N-approximation equivalence
  ⊑      : Entropy ordering
  No11   : No-consecutive-ones predicate
  
Constants:
  0_Z    : Z_N                       (Zeckendorf零)
  1_Z    : Z_N                       (Zeckendorf单位)
  φ      : R_φ                       (黄金比例)
  φ_N    : Z_N                       (离散黄金比例)

公理系统​

基础公理​

公理 A1 (熵增公理):

∀n ∈ N, ∀x ∈ Z_n : SelfRef(x) → S(Evolve(x)) > S(x)

公理 A2 (无11约束):

∀n ∈ N, ∀x ∈ Z_n : Valid(x) ↔ No11(x)

公理 A3 (Fibonacci递归):

∀n ≥ 2 : F(n) = F(n-1) + F(n-2) ∧ F(0) = 1 ∧ F(1) = 1

收敛公理​

公理 C1 (Cauchy完备性):

∀ε > 0, ∃N₀ ∈ N : ∀m,n > N₀, ∀x ∈ Z_∞ : 
  d_Z(x_m, x_n) < ε → ∃x_∞ ∈ Z_∞ : x_n → x_∞

公理 C2 (运算连续性):

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d_Z(a,a') < δ ∧ d_Z(b,b') < δ →
  d_Z(a ⊕_N b, a' ⊕_N b') < ε

公理 C3 (极限同态):

lim_{N→∞} |Φ_N(a ⊕_N b) - (Φ_N(a) +_φ Φ_N(b))| = 0

φ-结构公理​

公理 P1 (φ代数性):

∀N ∈ N : φ_N ⊗_N φ_N = φ_N ⊕_N 1_Z

公理 P2 (φ极限):

lim_{N→∞} Φ_N(φ_N) = φ

公理 P3 (φ-不变测度):

∀A ⊆ R_φ : μ(φ · A) = φ · μ(A)

推理规则​

基本规则​

规则 R1 (极限传递):

a_n → a, b_n → b, f continuous
─────────────────────────────────
f(a_n, b_n) → f(a, b)

规则 R2 (熵增传递):

S_N(x) < S_{N+1}(x) for all N
───────────────────────────────
dS_∞/dt > 0

规则 R3 (结构保持):

P holds in Z_N for all N, P continuous
──────────────────────────────────────
P holds in lim_{N→∞} Z_N

收敛规则​

规则 C1 (指数收敛):

|f_N - f_∞| < φ^{-N}
────────────────────
f_N → f_∞ exponentially

规则 C2 (一致收敛):

∀ε>0, ∃N₀: ∀N>N₀, ∀x: |f_N(x) - f(x)| < ε
───────────────────────────────────────────
f_N ⇒ f uniformly

核心定理​

主定理​

定理 T27-3:
∃ lim_{N→∞} Φ_N : (Z_N, ⊕_N, ⊗_N) → (R_φ, +_φ, ×_φ) such that:
1. lim_{N→∞} Φ_N(a ⊕_N b) = Φ_N(a) +_φ Φ_N(b)
2. φ-structure preserved: Spec(Φ_∞) = {φ^n : n ∈ Z}
3. Entropy increase: S_∞ > S_N for all N
4. Uniqueness: No11(x) → Unique(Φ_∞(x))

关键引理​

引理 L1 (度量完备性):

(Z_∞, d_Z) is a complete metric space

引理 L2 (运算收敛):

⊕_N → +_φ and ⊗_N → ×_φ as N → ∞

引理 L3 (φ-核心保持):

All algebraic and geometric properties of φ preserved under limit

引理 L4 (熵增传递):

Discrete entropy increase → Continuous entropy increase

证明策略​

构造性证明​

  1. 显式构造极限映射Φ_N
  2. 证明Cauchy序列收敛
  3. 验证极限性质

谱分析证明​

  1. 分析递推算子谱
  2. 证明谱的极限行为
  3. 导出结构保持性

测度论证明​

  1. 构造φ-不变测度
  2. 证明测度收敛
  3. 建立熵增传递

形式验证要求​

类型检查​

Definition Phi_N (N : nat) : Z_N -> R_phi.
Theorem limit_homomorphism :
  forall a b : Z_inf,
  limit (fun N => Phi_N (plus_N a b)) = 
  R_plus (limit (fun N => Phi_N a)) (limit (fun N => Phi_N b)).

收敛性验证​

theorem exponential_convergence :
  ∀ N : ℕ, ∀ x : Z_N,
  |Φ_N(x) - Φ_∞(x)| ≤ φ^(-N)

结构保持验证​

phi-preservation : ∀ (N : ℕ) →
  Φ-N (φ-N ⊗-N φ-N) ≡ Φ-N (φ-N ⊕-N 1-Z) →
  limit (Φ-N φ-N) * limit (Φ-N φ-N) ≡ limit (Φ-N φ-N) + 1

计算规范​

精度要求​

class PrecisionSpec:
    def __init__(self, N):
        self.N = N
        self.add_precision = phi ** (-N)
        self.mul_precision = phi ** (-N) * log(N)
        self.func_precision = phi ** (-N) * N

算法复杂度​

Addition:     O(N)
Multiplication: O(N log N) with FFT
Limit approximation: O(N²)
Full convergence: O(N³)

验证检查点​

必须验证的性质​

  1. □ Cauchy完备性
  2. □ 运算同态性
  3. □ φ-结构保持
  4. □ 熵增传递
  5. □ 唯一性保持
  6. □ 收敛速度为φ^(-N)

数值验证​

def verify_convergence(N_max=100):
    for N in range(10, N_max):
        error = compute_limit_error(N)
        assert error < phi ** (-N)
        assert entropy(N+1) > entropy(N)
        assert phi_structure_preserved(N)

与其他定理的接口​

输入接口​

  • From T27-1: Zeckendorf运算定义
  • From T27-2: 三元分解结构
  • From A1: 熵增公理

输出接口​

  • To T28-*: 实数结构基础
  • To T29-*: 极限过程方法
  • To T30-*: 连续性理论

完备性声明​

本形式化规范完整描述了Zeckendorf-实数极限跃迁的数学结构，提供了：

  1. 完整的形式语言定义
  2. 严格的公理系统
  3. 可验证的推理规则
  4. 计算可实现的算法规范
  5. 与其他理论的明确接口

所有定理和引理都可通过给定的公理和规则严格推导。

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