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T24-2 形式化规范：φ-优化收敛保证定理

依赖​

  • T24-1: φ-优化目标涌现定理
  • T20-1: Collapse-aware基础定理
  • T20-2: ψ-trace结构定理
  • A1: 自指完备系统必然熵增

定义域​

基础集合​

  • Bn={0,1}n\mathcal{B}_n = \{0,1\}^n: n位二进制向量空间
  • Zn={x∈Bn:xixi+1=0,∀i}\mathcal{Z}_n = \{x \in \mathcal{B}_n : x_i x_{i+1} = 0, \forall i\}: Zeckendorf可行域
  • F={F0,F1,F2,...}\mathcal{F} = \{F_0, F_1, F_2, ...\}: Fibonacci序列，F0=0,F1=1,Fn+2=Fn+1+FnF_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n

常数​

  • φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}: 黄金比例
  • ψ=1−52\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}: 共轭黄金比例
  • log⁡2φ≈0.694\log_2 \varphi \approx 0.694: 熵容量比

形式系统​

投影算子​

ProjZ:Bn→Zn\text{Proj}_{\mathcal{Z}}: \mathcal{B}_n \to \mathcal{Z}_n

性质:

  1. 非扩张性: ∥ProjZ(x)−ProjZ(y)∥≤∥x−y∥\|\text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x) - \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(y)\| \leq \|x - y\|
  2. 幂等性: ProjZ(ProjZ(x))=ProjZ(x)\text{Proj}_{\mathcal{Z}}(\text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x)) = \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x)
  3. 最近点: ∥x−ProjZ(x)∥=min⁡z∈Z∥x−z∥\|x - \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x)\| = \min_{z \in \mathcal{Z}} \|x - z\|

优化问题结构​

问题P: 在Zeckendorf约束下优化目标函数ff:

min⁡x∈Znf(x)\min_{x \in \mathcal{Z}_n} f(x)

假设:

  1. f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}是LL-光滑的: ∥∇f(x)−∇f(y)∥≤L∥x−y∥\|\nabla f(x) - \nabla f(y)\| \leq L\|x-y\|
  2. ff在Zn\mathcal{Z}_n上是μ\mu-强凸的: f(y)≥f(x)+⟨∇f(x),y−x⟩+μ2∥y−x∥2f(y) \geq f(x) + \langle \nabla f(x), y-x \rangle + \frac{\mu}{2}\|y-x\|^2
  3. 条件数: κ=L/μ\kappa = L/\mu

主要定理​

定理T24-2.1：收敛速率界​

陈述: 投影梯度算法

xk+1=ProjZ(xk−αk∇f(xk))x_{k+1} = \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x_k - \alpha_k \nabla f(x_k))

满足收敛速率:

∥xk−x∗∥≤1φk∥x0−x∗∥\|x_k - x^*\| \leq \frac{1}{\varphi^k} \|x_0 - x^*\|

证明要素:

  1. 收缩映射分析
  2. φ-调制效应
  3. Lyapunov函数递减

定理T24-2.2：迭代复杂度​

陈述: 达到ϵ\epsilon-精度所需迭代次数:

N(ϵ)=⌈log⁡φ(∥x0−x∗∥ϵ)⌉N(\epsilon) = \lceil \log_\varphi \left(\frac{\|x_0 - x^*\|}{\epsilon}\right) \rceil

推论: 复杂度为O(log⁡φ(1/ϵ))=O(1.44log⁡(1/ϵ))O(\log_\varphi(1/\epsilon)) = O(1.44 \log(1/\epsilon))

定理T24-2.3：Fibonacci步长最优性​

陈述: 最优步长序列满足:

αk=FkFk+1→k→∞1φ\alpha_k = \frac{F_k}{F_{k+1}} \xrightarrow{k \to \infty} \frac{1}{\varphi}

证明: 步长递归关系

αk+1+αk=αk−1\alpha_{k+1} + \alpha_k = \alpha_{k-1}

的解为Fibonacci比例。

定理T24-2.4：梯度范数递减​

陈述: 梯度范数满足:

∥∇f(xk)∥≤Lφk/2∥∇f(x0)∥\|\nabla f(x_k)\| \leq \frac{L}{\varphi^{k/2}} \|\nabla f(x_0)\|

意义: 梯度以φ−1/2≈0.786\varphi^{-1/2} \approx 0.786的速率递减。

定理T24-2.5：Zeckendorf投影保证​

陈述: 每次迭代后的投影保持收敛性:

xk∈Zn  ⟹  xk+1∈Znx_k \in \mathcal{Z}_n \implies x_{k+1} \in \mathcal{Z}_n

且

f(xk+1)≤f(xk)−αk2∥∇f(xk)∥2f(x_{k+1}) \leq f(x_k) - \frac{\alpha_k}{2}\|\nabla f(x_k)\|^2

算法规范​

Algorithm: PhiConvergenceOptimizer​

输入:

  • 目标函数 f:Rn→Rf: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}
  • 梯度函数 ∇f:Rn→Rn\nabla f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n
  • 初始点 x0∈Znx_0 \in \mathcal{Z}_n
  • 精度要求 ϵ>0\epsilon > 0

输出:

  • 近似最优解 x~∗\tilde{x}^* 满足 ∥x~∗−x∗∥≤ϵ\|\tilde{x}^* - x^*\| \leq \epsilon

步骤:

  1. 计算迭代上界: N=⌈log⁡φ(∥x0∥/ϵ)⌉N = \lceil \log_\varphi(\|x_0\|/\epsilon) \rceil
  2. For k=0k = 0 to N−1N-1:
    • 计算Fibonacci步长: αk=Fk/Fk+1\alpha_k = F_k / F_{k+1}
    • 梯度步: yk+1=xk−αk∇f(xk)y_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k)
    • 投影: xk+1=ProjZ(yk+1)x_{k+1} = \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(y_{k+1})
    • 检查收敛: if ∥xk+1−xk∥<ϵ\|x_{k+1} - x_k\| < \epsilon then break
  3. Return xNx_N

验证条件​

V1: Fibonacci递归验证​

Fn=Fn−1+Fn−2,n≥2F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad n \geq 2

V2: 投影算子正确性​

x∈Z  ⟺  ProjZ(x)=xx \in \mathcal{Z} \iff \text{Proj}_{\mathcal{Z}}(x) = x

V3: 收敛速率验证​

∥xk+1−x∗∥∥xk−x∗∥≤1φ+δ\frac{\|x_{k+1} - x^*\|}{\|x_k - x^*\|} \leq \frac{1}{\varphi} + \delta

其中δ\delta是数值误差容限。

V4: 梯度范数递减验证​

∥∇f(xk+1)∥∥∇f(xk)∥≤1φ+δ\frac{\|\nabla f(x_{k+1})\|}{\|\nabla f(x_k)\|} \leq \frac{1}{\sqrt{\varphi}} + \delta

V5: 目标函数单调性​

f(xk+1)≤f(xk),∀kf(x_{k+1}) \leq f(x_k), \quad \forall k

数值稳定性​

条件数分析​

投影操作的条件数受φ调制:

cond(ProjZ)≤φ\text{cond}(\text{Proj}_{\mathcal{Z}}) \leq \varphi

舍入误差传播​

舍入误差以O(1/φk)O(1/\varphi^k)速率衰减，保证数值稳定性。

实现要求​

数据结构​

  • 使用稀疏表示存储Zeckendorf向量
  • Fibonacci数预计算并缓存
  • 梯度历史用于收敛检测

性能指标​

  • 时间复杂度: O(nlog⁡φ(1/ϵ))O(n \log_\varphi(1/\epsilon))
  • 空间复杂度: O(n)O(n)
  • 收敛保证: 确定性，非概率

测试规范​

单元测试​

  1. Fibonacci序列生成正确性
  2. 投影算子满足非扩张性
  3. 步长序列收敛到1/φ
  4. 收敛速率符合理论界
  5. 梯度范数递减验证

集成测试​

  1. 标准凸优化问题
  2. Zeckendorf约束满足性
  3. 与无约束优化比较
  4. 大规模问题性能

数值实验​

  1. 不同维度n的收敛曲线
  2. 不同条件数κ的影响
  3. 步长选择敏感性分析
  4. φ-调制效应可视化

理论保证​

全局收敛性​

从任意初始点x0∈Znx_0 \in \mathcal{Z}_n，算法收敛到全局最优x∗x^*。

线性收敛率​

收敛率1/φ≈0.6181/\varphi \approx 0.618是所有一阶方法在Zeckendorf约束下的最优率。

鲁棒性​

算法对初始点选择和数值误差具有鲁棒性。

形式化验证清单:

  • Fibonacci序列性质
  • 投影算子性质
  • 收敛速率界
  • 迭代复杂度
  • 步长最优性
  • 梯度递减率
  • 单调性保证
  • 数值稳定性