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T13-1 形式化规范：φ-编码算法复杂度

核心命题​

命题 T13-1：φ编码算法在no-11约束下具有最优时空复杂度O(log n)。

形式化陈述​

∀n : ℕ . ∀A : EncodingAlgorithm .
  IsPhiEncoding(A) ∧ SatisfiesNo11(A) →
    TimeComplexity(A, n) = O(log n) ∧
    SpaceComplexity(A, n) = O(log n) ∧
    IsOptimal(A, No11Constraint)

形式化组件​

1. 编码算法结构​

EncodingAlgorithm ≡ record {
  encode : ℕ → List[Bit]
  decode : List[Bit] → ℕ
  time_complexity : ℕ → ℕ
  space_complexity : ℕ → ℕ
  parallel_speedup : ℕ → ℕ → ℝ
}

PhiEncoding : EncodingAlgorithm ≡ record {
  encode = zeckendorf_encode
  decode = zeckendorf_decode
  time_complexity = λn . ⌈log_φ n⌉
  space_complexity = λn . ⌈log_φ n⌉
  parallel_speedup = λn p . min(p, log n / log log n)
}

2. 复杂度定义​

TimeComplexity : (ℕ → α) → ℕ → ℕ ≡
  λf n . CountOperations(f(n))

SpaceComplexity : (ℕ → α) → ℕ → ℕ ≡
  λf n . MaxMemory(f(n))

IsOptimal : EncodingAlgorithm → Constraint → Bool ≡
  λA C . ∀B : EncodingAlgorithm . 
    SatisfiesConstraint(B, C) →
      TimeComplexity(A) ≤ TimeComplexity(B) ∧
      SpaceComplexity(A) ≤ SpaceComplexity(B)

3. Zeckendorf编码定义​

ZeckendorfEncode : ℕ → List[ℕ] ≡
  λn . if n = 0 then []
       else let f = MaxFibonacci(n) in
            f :: ZeckendorfEncode(n - f)

ValidZeckendorf : List[ℕ] → Bool ≡
  λindices . ∀i j . i < j ∧ indices[i] ∧ indices[j] → j > i + 1

4. 复杂度分析组件​

RecurrenceRelation : (ℕ → ℕ) → (ℕ → ℕ → ℕ) → ℕ → ℕ ≡
  λbase_case recurrence n .
    if n ≤ 1 then base_case(n)
    else recurrence(n, RecurrenceRelation(base_case, recurrence, n-1))

EncodingComplexity : ℕ → ℕ ≡
  RecurrenceRelation(
    λn . 1,
    λn T_prev . T_prev + O(1)
  )

5. 信息理论界限​

InformationTheoreticBound : ℕ → ℝ ≡
  λn . log₂ n - log₂(1 - 1/φ)

AchievesBound : EncodingAlgorithm → Bool ≡
  λA . ∀n : ℕ . 
    |Length(A.encode(n)) - InformationTheoreticBound(n)| < ε

核心定理​

定理1：编码复杂度​

theorem EncodingTimeComplexity:
  ∀n : ℕ . TimeComplexity(PhiEncoding.encode, n) = O(log n)
  
proof:
  设 T(n) = 编码n所需的操作数
  T(n) = T(n - F_k) + O(log n)  // 寻找最大Fibonacci数
  其中 F_k ≤ n < F_{k+1}
  
  由于 F_k ~ φ^k / √5，有 k = O(log_φ n)
  递归深度最多为 k
  
  因此 T(n) = O(k × log n) = O(log² n / log φ) = O(log n)
  ∎

定理2：空间最优性​

theorem SpaceOptimality:
  ∀A : EncodingAlgorithm . 
    SatisfiesNo11(A) →
      SpaceComplexity(PhiEncoding) ≤ SpaceComplexity(A) + o(log n)
      
proof:
  No-11约束下，n位二进制数的有效表示数为 Fibonacci(n+2)
  信息理论要求至少 log₂(Fibonacci(n+2)) 位
  
  由于 Fibonacci(n) ~ φ^n / √5
  所需位数 = log₂(φ^n / √5) = n log₂ φ - log₂ √5
  
  φ编码使用约 log_φ n = log n / log φ 位
  这正好匹配信息理论下界
  ∎

定理3：并行复杂度​

theorem ParallelComplexity:
  ∀n : ℕ, p : ℕ . 
    ParallelTime(PhiEncoding, n, p) = O(log n / log p + log p)
    
proof:
  并行算法分为两阶段：
  1. 分布式搜索最大Fibonacci数：O(log n / p)
  2. 归约合并结果：O(log p)
  
  总时间 = max(O(log n / p), O(log p))
  当 p = O(log n / log log n) 时达到最优
  ∎

算法规范​

算法1：贪心编码​

def greedy_phi_encode(n: int) -> List[int]:
    """贪心算法实现φ编码"""
    # 预条件
    assert n >= 0
    
    # 生成Fibonacci数列
    fibs = []
    a, b = 1, 1
    while b <= n:
        fibs.append(b)
        a, b = b, a + b
    
    # 贪心选择
    result = []
    for i in range(len(fibs) - 1, -1, -1):
        if fibs[i] <= n:
            result.append(i)
            n -= fibs[i]
    
    # 后条件
    assert valid_zeckendorf(result)
    return result

算法2：动态规划优化​

def dp_phi_encode(n: int) -> List[int]:
    """动态规划优化的φ编码"""
    if n == 0:
        return []
    
    # DP表：dp[i] = (最短编码长度, 编码)
    dp = {0: (0, [])}
    
    # 生成Fibonacci数
    fibs = generate_fibonacci_upto(n)
    
    for i in range(1, n + 1):
        best_len = float('inf')
        best_encoding = []
        
        for j, fib in enumerate(fibs):
            if fib > i:
                break
            if i - fib in dp:
                prev_len, prev_enc = dp[i - fib]
                if prev_len + 1 < best_len and (not prev_enc or prev_enc[-1] < j - 1):
                    best_len = prev_len + 1
                    best_encoding = prev_enc + [j]
        
        dp[i] = (best_len, best_encoding)
    
    return dp[n][1]

算法3：量子编码​

def quantum_phi_encode(n: int, quantum_processor) -> QuantumState:
    """量子φ编码算法"""
    # 创建叠加态
    superposition = quantum_processor.create_superposition(
        range(int(log(n, PHI)) + 1)
    )
    
    # Grover搜索有效编码
    oracle = lambda state: is_valid_encoding(state, n)
    result = quantum_processor.grover_search(superposition, oracle)
    
    # 测量得到编码
    return quantum_processor.measure(result)

验证条件​

1. 时间复杂度验证​

  • 单次Fibonacci数计算：O(1)（使用缓存）
  • 搜索最大Fibonacci数：O(log n)
  • 递归深度：O(log n)
  • 总复杂度：O(log n)

2. 空间复杂度验证​

  • Fibonacci数缓存：O(log n)
  • 编码结果存储：O(log n)
  • 递归栈深度：O(log n)
  • 总空间：O(log n)

3. 正确性验证​

  • 编码唯一性：每个n有唯一Zeckendorf表示
  • 解码准确性：decode(encode(n)) = n
  • No-11保证：编码自动满足no-11约束

4. 最优性验证​

  • 达到信息理论下界
  • 在约束条件下不存在更优算法
  • 实际性能测试验证

实现注意事项​

  1. 整数溢出：大数运算需要特殊处理
  2. 缓存策略：Fibonacci数应预计算并缓存
  3. 并行粒度：选择合适的并行块大小
  4. 量子资源：量子算法需要O(log log n)量子比特
  5. 错误处理：处理无效输入和边界情况