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D1-4-formal: 时间度量的形式化定义

机器验证元数据​

type: definition
verification: machine_ready
dependencies: ["D1-1-formal.md"]
verification_points:
  - non_negativity
  - monotonicity
  - additivity
  - directionality

核心定义​

定义 D1-4（时间度量）​

TimeMetric(S : SelfReferentialComplete) : Prop ≡
  ∃τ : Function[StateSpace × StateSpace → Real⁺] .
    NonNegative(τ) ∧
    Monotonic(τ) ∧
    Additive(τ) ∧
    Directional(τ)

四个基本性质​

性质1：非负性​

NonNegative(τ : Metric) : Prop ≡
  ∀i, j : Time . τ(Sᵢ, Sⱼ) ≥ 0 ∧
    (τ(Sᵢ, Sⱼ) = 0 ⟺ i = j)

性质2：单调性​

Monotonic(τ : Metric) : Prop ≡
  ∀i, j, k : Time . i < j < k → 
    τ(Sᵢ, Sⱼ) < τ(Sᵢ, Sₖ)

性质3：可加性​

Additive(τ : Metric) : Prop ≡
  ∀i, j, k : Time . i ≤ j ≤ k → 
    τ(Sᵢ, Sₖ) = τ(Sᵢ, Sⱼ) + τ(Sⱼ, Sₖ)

性质4：方向性​

Directional(τ : Metric) : Prop ≡
  ∀i, j : Time . τ(Sᵢ, Sⱼ) > 0 ⟺ i < j

标准构造​

结构距离度量​

τ_struct(Sᵢ, Sⱼ) : Real⁺ ≡
  match (i, j) with
  | i = j     ⇒ 0
  | i < j     ⇒ Σ(k=i to j-1) ρ(Sₖ, Sₖ₊₁)
  | i > j     ⇒ -τ(Sⱼ, Sᵢ)
  
where
  ρ(Sₖ, Sₖ₊₁) := √|Sₖ₊₁ \ Sₖ|

信息距离度量​

τ_info(Sᵢ, Sⱼ) : Real⁺ ≡
  Σ(k=i to j-1) [H(Sₖ₊₁) - H(Sₖ)]
  
where
  H : State → Real⁺ is entropy function

类型定义​

Type Time := ℕ
Type State := System × Time  
Type StateSpace := Set[State]
Type Metric := StateSpace × StateSpace → Real⁺
Type Real⁺ := {r ∈ ℝ | r ≥ 0}

附加性质​

离散性​

Discrete(τ : Metric) : Prop ≡
  ∃δ > 0 . ∀i ≠ j . τ(Sᵢ, Sⱼ) ≥ δ

不可逆性​

Irreversible(S : System) : Prop ≡
  ∀t : Time . ¬∃φ : Sₜ₊₁ → Sₜ . Surjective(φ)

累积性​

TotalTime(t : Time) : Real⁺ ≡
  Σ(k=0 to t-1) τ(Sₖ, Sₖ₊₁)

机器验证检查点​

检查点1：非负性验证​

def verify_non_negativity(metric, states):
    return all(metric(si, sj) >= 0 for si in states for sj in states)

检查点2：单调性验证​

def verify_monotonicity(metric, states):
    return all(metric(si, sj) < metric(si, sk) 
               for si, sj, sk in states if i < j < k)

检查点3：可加性验证​

def verify_additivity(metric, states):
    return all(abs(metric(si, sk) - (metric(si, sj) + metric(sj, sk))) < ε
               for si, sj, sk in states if i <= j <= k)

检查点4：方向性验证​

def verify_directionality(metric, states):
    return all((metric(si, sj) > 0) == (i < j)
               for si, sj in states)

形式化验证状态​

  • 定义语法正确
  • 性质相互独立
  • 构造方法完整
  • 类型声明清晰
  • 最小完备