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D1-2-formal: 二进制表示的形式化定义

机器验证元数据​

type: definition
verification: machine_ready
dependencies: ["D1-1-formal.md"]
verification_points:
  - encoding_injectivity
  - prefix_freedom
  - self_embedding
  - encoding_closure

核心定义​

定义 D1-2（二进制表示）​

BinaryRepresentation(S : System) : Prop ≡
  ∃Encode : Function[System → {0,1}*] . 
    Injective(Encode) ∧
    PrefixFree(Encode) ∧
    SelfEmbedding(Encode) ∧
    Closed(Encode)

组成条件​

条件1：编码完整性（单射性）​

Injective(Encode : Function[System → {0,1}*]) : Prop ≡
  ∀s₁, s₂ : Element . s₁ ∈ S ∧ s₂ ∈ S ∧ s₁ ≠ s₂ → 
    Encode(s₁) ≠ Encode(s₂)

条件2：前缀自由性​

PrefixFree(Encode : Function[System → {0,1}*]) : Prop ≡
  ∀s₁, s₂ : Element . s₁ ∈ S ∧ s₂ ∈ S ∧ s₁ ≠ s₂ → 
    ¬IsPrefix(Encode(s₁), Encode(s₂))

条件3：自嵌入性​

SelfEmbedding(Encode : Function[System → {0,1}*]) : Prop ≡
  Encode ∈ Domain(Encode) ∧ 
  Encode(Encode) ∈ Range(Encode)

条件4：编码封闭性​

Closed(Encode : Function[System → {0,1}*]) : Prop ≡
  ∀s : Element . s ∈ S → 
    Encode(s) ∈ {0,1}* ∧
    Encode(s) ⊆ S

基本类型和操作​

二进制字符串类型​

Type BinaryString := List[Bit]
Type Bit := {0, 1}
Type Encoding := System → BinaryString

前缀判定​

IsPrefix(x : BinaryString, y : BinaryString) : Bool ≡
  ∃z : BinaryString . y = x ++ z

解码存在性​

DecodingExists(Encode : Encoding) : Prop ≡
  ∃Decode : Function[BinaryString → System] .
    ∀s ∈ S . Decode(Encode(s)) = s

符号约定​

Notation: BinRep(S) := BinaryRepresentation(S)
Notation: {0,1}* := Set of all finite binary strings
Notation: |s| := length of string s
Notation: ε := empty string

机器验证检查点​

检查点1：单射性验证​

def verify_injectivity(encode_func, system):
    return all_encodings_unique(encode_func, system)

检查点2：前缀自由性验证​

def verify_prefix_freedom(encode_func, system):
    return no_encoding_is_prefix_of_another(encode_func, system)

检查点3：自嵌入性验证​

def verify_self_embedding(encode_func):
    return can_encode_itself(encode_func)

检查点4：封闭性验证​

def verify_closure(encode_func, system):
    return all_encodings_are_binary_strings(encode_func, system)

形式化验证状态​

  • 定义语法正确
  • 类型声明完整
  • 条件相互独立
  • 编码性质完备
  • 最小完备