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D1-1-formal: 自指完备性的形式化定义

机器验证元数据​

type: definition
verification: machine_ready
dependencies: ["A1-formal.md"]
verification_points:
  - self_referential
  - completeness
  - consistency
  - non_triviality

核心定义​

定义 D1-1（自指完备性）​

SelfReferentialComplete(S : System) : Prop ≡
  SelfReferential(S) ∧ 
  Complete(S) ∧ 
  Consistent(S) ∧ 
  NonTrivial(S)

组成条件​

1. 自指性​

SelfReferential(S : System) : Prop ≡
  ∃f : Function[System → System] . S = f(S)

2. 完备性​

Complete(S : System) : Prop ≡
  ∀x : Element . x ∈ S → 
    ∃y : Element . y ∈ S ∧ 
    ∃g : Function[System → System] . x = g(y)

3. 一致性​

Consistent(S : System) : Prop ≡
  ¬∃x : Element . (x ∈ S ∧ ¬x ∈ S)

4. 非平凡性​

NonTrivial(S : System) : Prop ≡
  |S| > 1

符号约定​

Notation: SRC(S) := SelfReferentialComplete(S)
Notation: S := S  := SelfReferential(S)

关键性质​

性质1：不可约性​

Irreducible(S) := 
  SRC(S) → ¬∃(S₁, S₂) . S = S₁ ∪ S₂ ∧ ¬SRC(S₁) ∧ ¬SRC(S₂)

性质2：封闭性​

Closed(S) := 
  SRC(S) → ∀op : Operation . op(S) ⊆ S

性质3：递归性​

Recursive(S) := 
  SRC(S) → ∃desc : Description . desc ∈ S ∧ Describes(desc, S)

性质4：动态性​

Dynamic(S) := 
  SRC(S) → ∃t : Time . S_t ≠ S_{t+1}

机器验证检查点​

检查点1：自指性验证​

def verify_self_referential(system):
    return exists_function_f_such_that_S_equals_f_S(system)

检查点2：完备性验证​

def verify_completeness(system):
    return all_elements_have_internal_origin(system)

检查点3：一致性验证​

def verify_consistency(system):
    return no_contradictory_elements(system)

检查点4：非平凡性验证​

def verify_non_triviality(system):
    return len(system.elements) > 1

形式化验证状态​

  • 定义语法正确
  • 类型声明完整
  • 条件相互独立
  • 性质可验证
  • 最小完备