C7-6 形式化规范：能量-信息等价推论

依赖

• A1: 自指完备系统必然熵增
• C17-1: 观察者自指推论
• C17-2: 观察Collapse等价推论
• D1-3: no-11约束
• D1-8: φ-表示系统

定义域

热力学空间

• $\mathcal{E}$: 能量状态空间
• $T$: 温度参数空间 $\mathbb{R}^+$
• $S$: 熵函数 $\mathcal{E} \to \mathbb{R}^+$
• $k_B$: 玻尔兹曼常数

信息空间

• $\mathcal{I}$: 信息位串空间 $\{0,1\}^*$
• $|\cdot|$: 信息量度量 $\mathcal{I} \to \mathbb{N}$
• $H(\cdot)$: 信息熵函数 $\mathcal{I} \to \mathbb{R}^+$
• $\text{no11}: \mathcal{I} \to \{0,1\}$: no-11约束判定

观察者空间

• $\mathcal{O}$: 观察者状态空间
• $T_{\text{obs}}: \mathcal{O} \to \mathbb{R}^+$: 观察者温度映射
• $\text{Observe}: \mathcal{O} \times \mathcal{E} \to \mathcal{O} \times \mathcal{I}$: 观察映射
• $\text{SelfRef}: \mathcal{O} \to \mathcal{O}$: 自指算子

等价映射空间

• $\Phi_E: \mathcal{E} \to \mathcal{I}$: 能量到信息映射
• $\Phi_I: \mathcal{I} \to \mathcal{E}$: 信息到能量映射
• $\phi = (1+\sqrt{5})/2$: 黄金比率
• $\log_2(\phi)$: φ的信息密度

形式系统

定义C7-6.1: 观察者热力学代价

观察者$\mathcal{O}$获取$n$比特信息的最小能量代价：

$$E_{\text{observe}}(n, T) = \phi^2 \cdot n \cdot k_B T$$

满足：

1. 单调性: $n_1 < n_2 \Rightarrow E_{\text{observe}}(n_1, T) < E_{\text{observe}}(n_2, T)$
2. 温度依赖: $\frac{\partial E_{\text{observe}}}{\partial T} = \phi^2 \cdot n \cdot k_B$

定义C7-6.2: Zeckendorf信息密度

在no-11约束下的有效信息密度：

$$\rho_{\text{info}} = \frac{\log_2(\phi)}{\log_2(2)} = \log_2(\phi)$$

满足：

$$0 < \rho_{\text{info}} < 1$$

定义C7-6.3: 能量的信息内容

能量$E$在温度$T$下的等价信息量：

$$I(E, T) = \frac{E \cdot \phi}{k_B T \cdot \log_2(\phi)}$$

定义C7-6.4: 信息的能量当量

$n$比特信息在温度$T$下的等价能量：

$$E(n, T) = \frac{n \cdot k_B T \cdot \log_2(\phi)}{\phi}$$

定义C7-6.5: 等价关系

能量$E$与信息$I$等价当且仅当：

$$E \cdot \phi = I \cdot k_B T_{\text{observer}} \cdot \log_2(\phi)$$

主要陈述

定理C7-6.1: 能量-信息基本等价

陈述: 对于任意观察者$\mathcal{O}$，能量与信息存在φ修正的等价关系。

形式化:

$$\forall E \in \mathcal{E}, I \in \mathcal{I}: E \cdot \phi = I \cdot k_B T_{\text{obs}}(\mathcal{O}) \cdot \log_2(\phi)$$

定理C7-6.2: Landauer界限的φ修正

陈述: 修正的Landauer原理考虑自指观察者的额外代价。

形式化:

$$E_{\text{erase}}^{\text{corrected}} = \phi^2 \cdot k_B T \ln(2)$$

定理C7-6.3: Maxwell妖的热力学界限

陈述: Maxwell妖获取信息受到φ修正的热力学界限约束。

形式化:

$$E_{\text{demon}} \geq \phi^2 \cdot I_{\text{acquired}} \cdot k_B T \ln(2)$$

定理C7-6.4: 计算复杂度的能量界限

陈述: 不可逆计算的能量代价与操作数呈φ比例关系。

形式化:

$$E_{\text{computation}} \geq \phi \cdot N_{\text{irreversible}} \cdot k_B T \ln(2)$$

定理C7-6.5: 信息存储的最小能量

陈述: 存储信息需要最小的维持能量。

形式化:

$$E_{\text{storage}}(n) = \frac{n \cdot k_B T}{\log_2(\phi)}$$

算法规范

Algorithm: EnergyToInformation

输入: 能量E, 观察者温度T
输出: 等价信息量I (比特)

function energy_to_info(E, T):
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    k_B = 1.380649e-23
    log2_φ = log2(φ)
    
    # 能量-信息转换公式
    I = (E * φ) / (k_B * T * log2_φ)
    
    # 验证结果为非负整数比特
    I = max(0, floor(I))
    
    return I

Algorithm: InformationToEnergy

输入: 信息量I (比特), 观察者温度T
输出: 等价能量E (焦耳)

function info_to_energy(I, T):
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    k_B = 1.380649e-23
    log2_φ = log2(φ)
    
    # 信息-能量转换公式
    E = (I * k_B * T * log2_φ) / φ
    
    # 验证结果为非负
    E = max(0, E)
    
    return E

Algorithm: ObservationCost

输入: 观察比特数n, 观察者温度T
输出: 观察能量代价E_obs

function observation_cost(n, T):
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    k_B = 1.380649e-23
    
    # 自指观察者的修正Landauer代价
    E_obs = φ^2 * n * k_B * T * ln(2)
    
    return E_obs

Algorithm: VerifyEquivalence

输入: 能量E, 信息I, 温度T, 容差tol
输出: 等价性验证结果

function verify_equivalence(E, I, T, tol=1e-10):
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    k_B = 1.380649e-23
    log2_φ = log2(φ)
    
    # 计算等价关系两边
    left_side = E * φ
    right_side = I * k_B * T * log2_φ
    
    # 相对误差
    if max(abs(left_side), abs(right_side)) == 0:
        return left_side == right_side
    
    relative_error = abs(left_side - right_side) / max(abs(left_side), abs(right_side))
    
    return relative_error < tol

Algorithm: ZeckendorfEntropy

输入: 比特数n
输出: Zeckendorf约束下的熵

function zeckendorf_entropy(n):
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    k_B = 1.380649e-23
    
    # 第(n+2)个Fibonacci数
    F_n_plus_2 = fibonacci(n + 2)
    
    # Zeckendorf熵
    S = k_B * ln(F_n_plus_2)
    
    return S

function fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    
    φ = (1 + sqrt(5)) / 2
    φ_n = φ^n
    ψ_n = ((-1/φ)^n)
    
    return floor((φ_n - ψ_n) / sqrt(5))

验证条件

V1: 等价关系双向性

$$E \xrightarrow{\Phi_E} I \xrightarrow{\Phi_I} E' \Rightarrow |E - E'| < \epsilon$$

V2: 温度单调性

$$T_1 < T_2 \Rightarrow E_{\text{observe}}(n, T_1) < E_{\text{observe}}(n, T_2)$$

V3: 信息量保持性

$$\text{no11}(I) \Rightarrow |I| = \text{bits\_count}(I)$$

V4: 熵增相容性

$$\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{energy}} + \Delta S_{\text{info}} \geq k_B \log_2(\phi)$$

V5: 物理常数一致性

$$k_B = 1.380649 \times 10^{-23} \pm 10^{-29} \text{ J/K}$$

复杂度分析

时间复杂度

• 能量-信息转换: $O(1)$
• 信息-能量转换: $O(1)$
• 观察代价计算: $O(1)$
• 等价验证: $O(1)$
• Fibonacci计算: $O(\log n)$
• Zeckendorf熵计算: $O(\log n)$

空间复杂度

• 基本转换: $O(1)$
• Fibonacci缓存: $O(\log n)$
• 验证过程: $O(1)$

数值精度

• 能量计算: IEEE 754双精度 (15-17位有效数字)
• φ常数精度: $10^{-15}$相对误差
• 温度范围: $[0.1, 10^6]$ K
• 信息量范围: $[1, 10^{18}]$ 比特

测试规范

单元测试

1. 基本转换测试

   • 验证能量-信息双向转换精度
   • 验证边界条件(零能量、零信息)
   • 验证温度依赖关系

2. 物理常数测试

   • 验证玻尔兹曼常数精度
   • 验证黄金比率精度
   • 验证对数计算精度

3. 等价关系测试

   • 验证等价公式在不同尺度下的成立
   • 验证误差界限
   • 验证极限行为

集成测试

1. 热力学一致性 (与热力学定律的兼容性)
2. 信息论一致性 (与Shannon信息论的兼容性)
3. 量子力学一致性 (与量子测量理论的兼容性)

性能测试

1. 大数值范围 ($10^{-21}$ J to $10^{10}$ J)
2. 高精度计算 (相对误差 < $10^{-12}$)
3. 温度极限 (接近绝对零度和极高温度)

理论保证

存在性保证

• 对任意有限能量存在对应的有限信息量
• 对任意有限信息存在对应的有限能量
• 观察者温度在物理范围内存在

唯一性保证

• 给定温度下能量-信息映射唯一
• 等价关系在误差范围内唯一确定
• 最小观察代价唯一

连续性保证

• 能量-信息映射关于温度连续
• 观察代价关于比特数连续
• 熵函数关于状态连续

界限保证

• 观察代价有非零下界
• 信息密度有上界$\log_2(\phi)$
• 等价关系的相对误差有界

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形式化验证清单:

• 双向转换精度验证 (V1)
• 温度单调性测试 (V2)
• 信息量保持验证 (V3)
• 熵增相容性检查 (V4)
• 物理常数精度验证 (V5)
• 算法终止性证明
• 数值稳定性分析
• 边界条件处理