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C2-3: 信息守恒推论（Information Conservation Corollary）

核心陈述​

在自指完备系统中，总信息量在系统演化过程中保持守恒，但信息的分布和可访问性可能发生变化。

形式化框架​

1. 信息量定义​

定义 C2-3.1（状态信息量）： 给定状态s，其信息量定义为：

I(s) = log_2(|S(s)|)

其中|S(s)|是与s兼容的状态集合大小。

定义 C2-3.2（总信息量）： 系统总信息量：

I_total = I_system + I_observer + I_correlation

其中I_correlation是系统与观测器间的关联信息。

2. 信息守恒原理​

性质 C2-3.1（局部守恒）： 在闭合演化下：

dI_total/dt = 0

性质 C2-3.2（信息转移）： 观测过程中：

ΔI_system + ΔI_observer + ΔI_correlation = 0

3. 信息与熵的关系​

性质 C2-3.3（信息-熵对偶）：

I = log_2(N) - S

其中N是总状态数，S是熵。

性质 C2-3.4（可访问性变化）： 随着演化：

I_accessible(t) ≤ I_accessible(0)

但I_total保持不变。

4. 编码层面的守恒​

性质 C2-3.5（编码容量守恒）： φ-表示系统的总编码容量：

C_total = log_2(F_{n+2}) = constant

性质 C2-3.6（编码分配）： 信息可以在不同编码位之间重新分配，但总容量不变。

5. 量子类比​

性质 C2-3.7（幺正性）： 系统演化保持信息的幺正性：

|det(U)| = 1

其中U是演化算子。

完整推论陈述​

推论 C2-3（信息守恒）： 在自指完备系统中：

  1. 总信息量在演化中守恒：dI_total/dt = 0
  2. 信息可在子系统间转移：I_total = I_system + I_observer + I_correlation
  3. 可访问信息可能减少：I_accessible(t) ≤ I_accessible(0)
  4. 编码容量保持不变
  5. 演化保持幺正性

验证要点​

机器验证检查点：​

  1. 信息量计算验证

    • 计算各状态的信息量
    • 验证总信息量
    • 检查信息分布

  2. 守恒性验证

    • 演化前后的总信息
    • 信息转移平衡
    • 编码容量不变性

  3. 可访问性验证

    • 可访问信息的变化
    • 不可访问信息的累积
    • 信息"隐藏"机制

  4. 信息-熵关系验证

    • 验证I = log_2(N) - S
    • 检查熵增与信息守恒的一致性
    • 验证对偶关系

  5. 量子类比验证

    • 演化的幺正性
    • 纠缠信息的分布
    • 局部vs全局信息

Python实现要求​

class InformationConservationVerifier:
    def __init__(self, n: int = 8):
        self.n = n
        self.phi_system = PhiRepresentationSystem(n)
        
    def compute_state_information(self, state: List[int]) -> float:
        """计算状态信息量"""
        # I(s) = log_2(|S(s)|)
        pass
        
    def compute_total_information(self, system_state: List[int], 
                                observer_state: List[int]) -> Dict[str, float]:
        """计算总信息量及其分布"""
        # I_total = I_system + I_observer + I_correlation
        pass
        
    def verify_conservation(self, evolution_steps: int) -> Dict[str, Any]:
        """验证信息守恒"""
        # 检查dI_total/dt = 0
        pass
        
    def track_information_flow(self) -> Dict[str, List[float]]:
        """追踪信息流动"""
        # 监测信息在子系统间的转移
        pass
        
    def verify_accessibility_change(self) -> Dict[str, Any]:
        """验证可访问性变化"""
        # I_accessible vs I_total
        pass

理论意义​

此推论揭示了：

  1. 信息作为基本守恒量的地位
  2. 熵增与信息守恒的深层统一
  3. 观测过程的信息转移本质
  4. 黑洞信息悖论的可能解决方案
  5. 可逆计算的理论基础