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C17-5 形式化规范：语义深度Collapse推论

依赖​

  • A1: 自指完备系统必然熵增
  • C17-2: 观察Collapse等价推论
  • C17-3: NP-P-Zeta转换推论
  • C17-4: Zeta递归构造推论
  • D1-3: no-11约束

定义域​

语义空间​

  • Sn\mathcal{S}_n: n位Zeckendorf编码状态空间
  • Collapse:Sn→Sn\text{Collapse}: \mathcal{S}_n \to \mathcal{S}_n: Collapse算子
  • Fn\mathcal{F}_n: n位空间的不动点集
  • Cycle(S)\text{Cycle}(S): 状态S的极限环

深度度量空间​

  • Depth:Sn→N\text{Depth}: \mathcal{S}_n \to \mathbb{N}: 语义深度函数
  • K:Sn→R+K: \mathcal{S}_n \to \mathbb{R}^+: Kolmogorov复杂度
  • Hsem:Sn→R+H_{\text{sem}}: \mathcal{S}_n \to \mathbb{R}^+: 语义熵
  • dsemd_{\text{sem}}: 语义距离度量

层次分解空间​

  • Lk\mathcal{L}_k: 深度为k的语义层
  • ⊕:∏kLk→Sn\oplus: \prod_{k} \mathcal{L}_k \to \mathcal{S}_n: 层次合成算子
  • Πk:Sn→Lk\Pi_k: \mathcal{S}_n \to \mathcal{L}_k: 第k层投影

形式系统​

定义C17-5.1: 语义深度​

状态S的语义深度定义为：

Depthsem(S)=min⁡{n∈N:Collapsen(S)∈Fn}\text{Depth}_{\text{sem}}(S) = \min\{n \in \mathbb{N}: \text{Collapse}^n(S) \in \mathcal{F}_n\}

满足：

  1. Depthsem(S)≥0\text{Depth}_{\text{sem}}(S) \geq 0
  2. Depthsem(S∗)=0\text{Depth}_{\text{sem}}(S^*) = 0 当S∗∈FnS^* \in \mathcal{F}_n

定义C17-5.2: Collapse收敛性​

Collapse序列的收敛：

lim⁡n→∞Collapsen(S)=S∗∈Fn\lim_{n \to \infty} \text{Collapse}^n(S) = S^* \in \mathcal{F}_n

收敛速度：

∥Collapsen+1(S)−S∗∥≤ϕ−1∥Collapsen(S)−S∗∥\|\text{Collapse}^{n+1}(S) - S^*\| \leq \phi^{-1} \|\text{Collapse}^n(S) - S^*\|

定义C17-5.3: 语义熵​

语义熵定义为：

Hsem(S)=Depthsem(S)⋅log⁡2(ϕ)H_{\text{sem}}(S) = \text{Depth}_{\text{sem}}(S) \cdot \log_2(\phi)

满足：

  • 非负性: Hsem(S)≥0H_{\text{sem}}(S) \geq 0
  • 次可加性: Hsem(S1⊕S2)≤Hsem(S1)+Hsem(S2)H_{\text{sem}}(S_1 \oplus S_2) \leq H_{\text{sem}}(S_1) + H_{\text{sem}}(S_2)

定义C17-5.4: 层次分解​

状态的语义层次分解：

S=⨁k=0dΠk(S)S = \bigoplus_{k=0}^{d} \Pi_k(S)

其中d=Depthsem(S)d = \text{Depth}_{\text{sem}}(S)，且：

Depthsem(Πk(S))=k\text{Depth}_{\text{sem}}(\Pi_k(S)) = k

定义C17-5.5: 深度-复杂度关系​

Depthsem(S)=⌈log⁡ϕ(K(S))⌉\text{Depth}_{\text{sem}}(S) = \lceil \log_\phi(K(S)) \rceil

其中误差界：

∣Depthsem(S)−log⁡ϕ(K(S))∣<1|\text{Depth}_{\text{sem}}(S) - \log_\phi(K(S))| < 1

主要陈述​

定理C17-5.1: 语义深度良定义性​

陈述: 每个有限状态都有唯一确定的语义深度。

形式化:

∀S∈Sn:∃!d∈N,d≤Fn+2:Depthsem(S)=d\forall S \in \mathcal{S}_n: \exists! d \in \mathbb{N}, d \leq F_{n+2}: \text{Depth}_{\text{sem}}(S) = d

定理C17-5.2: Fibonacci深度界限​

陈述: 语义深度受Fibonacci数列约束。

形式化:

∀S∈Sn:Depthsem(S)≤⌊log⁡ϕ(Fn+2)⌋=n+O(1)\forall S \in \mathcal{S}_n: \text{Depth}_{\text{sem}}(S) \leq \lfloor \log_\phi(F_{n+2}) \rfloor = n + O(1)

定理C17-5.3: 对数压缩定理​

陈述: 语义深度实现指数到对数的压缩。

形式化:

K(S)=O(ϕDepthsem(S))K(S) = O(\phi^{\text{Depth}_{\text{sem}}(S)})

定理C17-5.4: 层次正交性​

陈述: 不同深度层近似正交。

形式化:

⟨Πi(S),Πj(S)⟩≈δij∥Πi(S)∥2\langle \Pi_i(S), \Pi_j(S) \rangle \approx \delta_{ij} \|\Pi_i(S)\|^2

定理C17-5.5: 语义熵守恒​

陈述: Collapse过程保持总语义熵。

形式化:

∑k=0dHsem(Πk(S))=Hsem(S)\sum_{k=0}^{d} H_{\text{sem}}(\Pi_k(S)) = H_{\text{sem}}(S)

算法规范​

Algorithm: ComputeSemanticDepth​

输入: 状态S ∈ S_n
输出: 语义深度d

function semantic_depth(S):
    current = S
    visited = {}
    
    for depth in range(F_{n+2}):
        # 检查循环
        if current in visited:
            cycle_start = visited[current]
            return cycle_start
        
        visited[current] = depth
        
        # 应用collapse
        next = collapse(current)
        
        # 检查不动点
        if next == current:
            return depth
        
        current = next
    
    return n  # 理论上不应到达

Algorithm: SemanticCollapse​

输入: 状态S, no-11约束
输出: Collapse后的状态

function collapse(S):
    result = zeros(len(S))
    
    for i in range(len(S)):
        if i == 0:
            result[i] = S[i]
        elif i == 1:
            result[i] = (S[i] + S[i-1]) mod 2
        else:
            # Fibonacci递归
            fib_pred = fibonacci_predecessor(i)
            if fib_pred < len(S):
                result[i] = (S[i] + S[fib_pred]) mod 2
            else:
                result[i] = S[i]
    
    # 强制no-11
    return enforce_no11(result)

Algorithm: HierarchicalDecomposition​

输入: 状态S
输出: 层次分解{L_k}

function decompose(S):
    layers = []
    current = S
    
    while not is_trivial(current):
        # 提取当前层
        layer = extract_semantic_layer(current)
        layers.append(layer)
        
        # 递归collapse
        current = collapse(current)
    
    return layers

验证条件​

V1: 深度有限性​

∀S∈Sn:Depthsem(S)<∞\forall S \in \mathcal{S}_n: \text{Depth}_{\text{sem}}(S) < \infty

V2: 单调性​

Depthsem(Collapse(S))≤Depthsem(S)\text{Depth}_{\text{sem}}(\text{Collapse}(S)) \leq \text{Depth}_{\text{sem}}(S)

V3: 对数关系精度​

∣Depthsem(S)log⁡ϕ(K(S))−1∣<0.2\left|\frac{\text{Depth}_{\text{sem}}(S)}{\log_\phi(K(S))} - 1\right| < 0.2

V4: No-11保持​

∀S:no11(S)⇒no11(Collapse(S))\forall S: \text{no11}(S) \Rightarrow \text{no11}(\text{Collapse}(S))

V5: 收敛速度​

∥Collapsen(S)−S∗∥≤C⋅ϕ−n\|\text{Collapse}^n(S) - S^*\| \leq C \cdot \phi^{-n}

复杂度分析​

时间复杂度​

  • 深度计算: O(n⋅Fn+2)=O(n⋅ϕn)O(n \cdot F_{n+2}) = O(n \cdot \phi^n)
  • 单次collapse: O(n)O(n)
  • 层次分解: O(d⋅n)=O(n2)O(d \cdot n) = O(n^2)
  • 语义熵计算: O(n)O(n)

空间复杂度​

  • 状态存储: O(n)O(n)
  • 访问历史: O(Fn+2)O(F_{n+2})
  • 层次存储: O(d⋅n)=O(n2)O(d \cdot n) = O(n^2)

数值精度​

  • 深度计算: 精确整数
  • φ运算: IEEE 754双精度
  • 熵计算: 相对误差 < 10−1010^{-10}

测试规范​

单元测试​

  1. 深度计算测试

    • 验证平凡态深度为0
    • 验证随机态深度有限
    • 验证深度界限

  2. Collapse收敛测试

    • 验证收敛到不动点
    • 验证收敛速度
    • 验证no-11保持

  3. 层次分解测试

    • 验证分解完备性
    • 验证重构准确性
    • 验证层次正交性

集成测试​

  1. 不同维度测试 (n=8,16,32,64)
  2. 特殊态测试 (全0,全1模式,Fibonacci模式)
  3. 随机态统计 (1000个随机态)

性能测试​

  1. 深度分布 (统计特性)
  2. 收敛时间 (平均/最坏情况)
  3. 内存使用 (大规模状态)

理论保证​

存在性保证​

  • 每个状态都有语义深度
  • 不动点必然存在
  • 层次分解存在

唯一性保证​

  • 语义深度唯一确定
  • 不动点在环内唯一
  • 最优分解唯一

界限保证​

  • 深度受Fibonacci约束
  • 收敛时间有限
  • 复杂度对数压缩

守恒性保证​

  • 语义熵在collapse中守恒
  • 信息内容保持
  • 可逆性（在环内）

形式化验证清单:

  • 深度良定义证明 (V1)
  • 单调性验证 (V2)
  • 对数关系测试 (V3)
  • No-11约束检查 (V4)
  • 收敛速度分析 (V5)
  • 算法正确性证明
  • 数值稳定性测试
  • 边界条件验证