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C14-3 形式化规范：φ-网络稳定性推论

依赖​

  • C14-1: φ-网络拓扑涌现推论
  • C14-2: φ-网络信息流推论
  • T20-3: Reality shell边界定理
  • A1: 自指完备系统必然熵增

定义域​

状态空间​

  • X=RN\mathcal{X} = \mathbb{R}^N: N维状态空间
  • X∗⊂X\mathcal{X}^* \subset \mathcal{X}: 平衡点集合
  • Bϵ(x∗)B_{\epsilon}(x^*): 平衡点x∗x^*的ϵ\epsilon-邻域

扰动空间​

  • ΔX={δx:∣∣δx∣∣<δ}\Delta\mathcal{X} = \{\delta x : ||\delta x|| < \delta\}: 小扰动空间
  • P\mathcal{P}: 扰动传播算子
  • A\mathcal{A}: 攻击策略空间

稳定性度量​

  • ρ\rho: 谱半径
  • λi\lambda_i: Lyapunov指数
  • pcp_c: 渗流临界概率
  • R(t)R(t): 韧性函数

形式系统​

扰动动力学​

定义C14-3.1: 扰动演化方程

δx(t+1)=Pφδx(t)\delta x(t+1) = \mathcal{P}_{\varphi} \delta x(t)

其中Pφ\mathcal{P}_{\varphi}是φ-转移算子，满足：

ρ(Pφ)=φ−1\rho(\mathcal{P}_{\varphi}) = \varphi^{-1}

Lyapunov稳定性​

定义C14-3.2: Lyapunov函数

V:X→R≥0V: \mathcal{X} \to \mathbb{R}_{\geq 0} V(x)=∑i=1Nφ−di∣∣xi−xi∗∣∣2V(x) = \sum_{i=1}^N \varphi^{-d_i} ||x_i - x_i^*||^2

满足：

  1. V(x∗)=0V(x^*) = 0
  2. V(x)>0,∀x≠x∗V(x) > 0, \forall x \neq x^*
  3. V˙(x)<0,∀x≠x∗\dot{V}(x) < 0, \forall x \neq x^*

主要陈述​

推论C14-3.1：扰动指数衰减​

陈述: 对任意小扰动δx0∈ΔX\delta x_0 \in \Delta\mathcal{X}：

∣∣δx(t)∣∣≤∣∣δx0∣∣⋅φ−αt||\delta x(t)|| \leq ||\delta x_0|| \cdot \varphi^{-\alpha t}

其中α=−ln⁡ρ(Pφ)/ln⁡φ>0\alpha = -\ln\rho(\mathcal{P}_{\varphi})/\ln\varphi > 0。

证明要素:

  1. 谱分解Pφ=∑iλiviviT\mathcal{P}_{\varphi} = \sum_i \lambda_i v_i v_i^T
  2. ∣λi∣≤φ−1,∀i|\lambda_i| \leq \varphi^{-1}, \forall i
  3. 指数界推导

推论C14-3.2：渗流黄金分割​

陈述: 网络渗流临界概率

pc=φ−2=1φ+1≈0.382p_c = \varphi^{-2} = \frac{1}{\varphi + 1} \approx 0.382

验证条件:

lim⁡n→∞FnFn+2=φ−2\lim_{n \to \infty} \frac{F_n}{F_{n+2}} = \varphi^{-2}

推论C14-3.3：韧性Fibonacci递归​

陈述: k轮攻击后的韧性

Rk=R0⋅∏i=1kFn−i+2Fn−i+3R_k = R_0 \cdot \prod_{i=1}^k \frac{F_{n-i+2}}{F_{n-i+3}}

极限行为:

lim⁡k→∞Rk1/k=φ−1\lim_{k \to \infty} R_k^{1/k} = \varphi^{-1}

推论C14-3.4：Lyapunov指数谱​

陈述: Lyapunov指数满足

λmax⁡=−ln⁡φ\lambda_{\max} = -\ln\varphi λi≤λmax⁡,∀i\lambda_i \leq \lambda_{\max}, \forall i

稳定性判据:

λmax⁡<0⇒渐近稳定\lambda_{\max} < 0 \Rightarrow \text{渐近稳定}

推论C14-3.5：恢复时间缩放​

陈述: 从扰动恢复的时间

Trecovery=T0⋅log⁡φNT_{recovery} = T_0 \cdot \log_{\varphi} N

其中T0=φT_0 = \varphi是特征时间。

精确形式:

Trecovery=ln⁡Nln⁡φ+O(1)T_{recovery} = \frac{\ln N}{\ln\varphi} + O(1)

算法规范​

Algorithm: StabilityAnalysis​

输入:

  • 邻接矩阵 A∈{0,1}N×NA \in \{0,1\}^{N \times N}
  • 扰动 δx0∈RN\delta x_0 \in \mathbb{R}^N
  • 时间步数 TT
  • 分析类型 ∈{linear,nonlinear,stochastic}\in \{\text{linear}, \text{nonlinear}, \text{stochastic}\}

输出:

  • 扰动轨迹 {δxt}t=0T\{\delta x_t\}_{t=0}^T
  • 稳定性指标 (decay_rate,pc,R,λ,Trec)(decay\_rate, p_c, R, \lambda, T_{rec})
  • 稳定性判定 ∈{stable,unstable,critical}\in \{\text{stable}, \text{unstable}, \text{critical}\}

不变量:

  1. ∣∣δxt∣∣≤∣∣δx0∣∣||\delta x_t|| \leq ||\delta x_0|| (稳定情况)
  2. V(xt)≤V(x0)V(x_t) \leq V(x_0) (Lyapunov递减)
  3. 0≤pc≤10 \leq p_c \leq 1 (概率界)

核心算法​

function analyze_stability(A, delta_x0, T):
    # 构建φ-转移算子
    P_phi = build_fibonacci_transition(A)
    
    # 扰动传播
    trajectory = []
    delta_x = delta_x0
    for t in 1:T:
        delta_x = P_phi @ delta_x
        trajectory.append(norm(delta_x))
    
    # 计算衰减率
    decay_rate = (trajectory[T]/trajectory[0])^(1/T)
    
    # 渗流分析
    p_c = 1/phi^2
    
    # Lyapunov指数
    lambda_max = log(spectral_radius(P_phi))
    
    return StabilityMetrics(decay_rate, p_c, lambda_max)

验证条件​

V1: 扰动衰减验证​

∣∣δxt+1∣∣∣∣δxt∣∣≤φ−α+ϵ\frac{||\delta x_{t+1}||}{||\delta x_t||} \leq \varphi^{-\alpha} + \epsilon

V2: 渗流阈值验证​

∣pcempirical−φ−2∣<0.05|p_c^{empirical} - \varphi^{-2}| < 0.05

V3: 韧性递归验证​

∣Rk+1Rk−φ−1∣<0.1\left|\frac{R_{k+1}}{R_k} - \varphi^{-1}\right| < 0.1

V4: Lyapunov函数递减​

V(xt+1)−V(xt)<0,∀xt≠x∗V(x_{t+1}) - V(x_t) < 0, \forall x_t \neq x^*

V5: 恢复时间缩放​

Trecovery(2N)Trecovery(N)≈log⁡φ(2N)log⁡φ(N)\frac{T_{recovery}(2N)}{T_{recovery}(N)} \approx \frac{\log_{\varphi}(2N)}{\log_{\varphi}(N)}

复杂度分析​

时间复杂度​

  • 扰动传播: O(T⋅∣E∣)O(T \cdot |E|)
  • 渗流分析: O(N+∣E∣)O(N + |E|)
  • 韧性计算: O(k⋅N2)O(k \cdot N^2)
  • Lyapunov计算: O(N)O(N)
  • 谱分析: O(N3)O(N^3)

空间复杂度​

  • 转移矩阵: O(∣E∣)O(|E|) (稀疏存储)
  • 扰动轨迹: O(T⋅N)O(T \cdot N)
  • 连通分量: O(N)O(N)

数值稳定性​

条件数界​

κ(Pφ)≤φ⋅κ(A)\kappa(\mathcal{P}_{\varphi}) \leq \varphi \cdot \kappa(A)

误差传播​

∣∣et+1∣∣≤φ−1∣∣et∣∣+ϵmachine||e_{t+1}|| \leq \varphi^{-1} ||e_t|| + \epsilon_{machine}

数值格式​

推荐隐式欧拉：

xt+1=(I−Δt⋅Jφ)−1xtx_{t+1} = (I - \Delta t \cdot J_{\varphi})^{-1} x_t

其中JφJ_{\varphi}是φ-调制Jacobian。

实现要求​

数据结构​

  1. 稀疏矩阵（CSR格式）
  2. 并查集（连通分量）
  3. 优先队列（攻击序列）
  4. 循环缓冲（轨迹存储）

算法优化​

  1. 谱半径的幂法计算
  2. 连通分量的增量更新
  3. Lyapunov函数的向量化
  4. 并行化扰动传播

边界条件​

  1. 孤立节点处理
  2. 断开网络检测
  3. 数值下溢保护
  4. 大规模网络近似

测试规范​

单元测试​

  1. Fibonacci转移矩阵正确性
  2. 扰动衰减率计算
  3. 连通分量算法
  4. Lyapunov函数性质

稳定性测试​

  1. 线性稳定性分析
  2. 非线性扰动响应
  3. 随机扰动统计
  4. 边界稳定性

渗流测试​

  1. 随机删除节点
  2. 目标攻击
  3. 级联失效
  4. 临界点识别

缩放测试​

  1. N=102,103,104N = 10^2, 10^3, 10^4
  2. 不同网络密度
  3. 恢复时间验证
  4. 内存使用分析

理论保证​

全局稳定性​

从任意初始扰动收敛到平衡点

鲁棒性界​

容忍1−pc≈61.8%1-p_c \approx 61.8\%的随机失效

最优韧性​

韧性衰减率φ−1\varphi^{-1}是理论最优

快速恢复​

恢复时间对数增长，优于多项式

形式化验证清单:

  • 扰动衰减指数验证
  • 渗流阈值精确性
  • 韧性递归关系
  • Lyapunov稳定性证明
  • 恢复时间缩放律
  • 数值稳定性分析
  • 大规模网络验证
  • 极限行为正确性