C14-2 形式化规范：φ-网络信息流推论

依赖

• C14-1: φ-网络拓扑涌现推论
• T24-1: φ-优化目标涌现定理
• T20-2: ψ-trace结构定理
• A1: 自指完备系统必然熵增

定义域

信息空间

• $\mathcal{I} = \mathbb{R}^N_{\geq 0}$: N维非负信息分布空间
• $\mathcal{S} = [0, N\log_2\varphi]$: 熵空间
• $\mathcal{F}_{flow}$: 信息流算子空间

网络动力学空间

• $\mathcal{G} = (V, E, W)$: 加权图，$W_{ij} = F_{|i-j|}/F_{|i-j|+2}$
• $\mathcal{P}$: 转移概率矩阵空间
• $\mathcal{K}$: 扩散核空间

时间演化

• $t \in \mathbb{R}_{\geq 0}$: 连续时间
• $k \in \mathbb{N}$: 离散时间步
• $\tau_{\varphi} = -\ln\varphi$: 特征时间尺度

形式系统

信息传播算子

定义C14-2.1: φ-传播算子

$$\mathcal{T}_{\varphi}: \mathcal{I} \to \mathcal{I}$$ $$[\mathcal{T}_{\varphi}I]_i = \sum_{j \in N(i)} P_{ij}^{\varphi} I_j$$

其中$P_{ij}^{\varphi} = W_{ij}/\sum_k W_{ik}$是φ-转移概率。

信息容量函数

定义C14-2.2: 节点容量

$$C_i = \log_2 F_{d_i+2}$$

网络总容量：

$$C_{total} = \sum_{i=1}^N C_i = \sum_{i=1}^N \log_2 F_{d_i+2}$$

主要陈述

推论C14-2.1：传播速度φ-衰减

陈述: 信息强度的时间演化

$$||I(t)|| = ||I_0|| \cdot \varphi^{-t/\tau}$$

证明要素:

1. 谱半径 $\rho(\mathcal{T}_{\varphi}) = \varphi^{-1}$
2. Perron-Frobenius定理应用
3. 指数衰减率推导

推论C14-2.2：容量Fibonacci界

陈述: 网络信息容量满足

$$C_{total} \leq N \cdot \log_2\varphi \cdot \langle d \rangle$$

其中$\langle d \rangle$是平均度。

严格形式:

$$\sum_{i=1}^N \log_2 F_{d_i+2} \leq \log_2 \prod_{i=1}^N F_{d_i+2} = \log_2 F_{\sum_i(d_i+2)}$$

推论C14-2.3：扩散核φ-形式

陈述: 信息扩散Green函数

$$G(x, y; t) = \frac{1}{(4\pi D_{\varphi}t)^{d/2}} \exp\left(-\frac{||x-y||^2}{4D_{\varphi}t}\right)$$

其中$D_{\varphi} = D_0/\varphi$。

谱展开:

$$G = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\lambda_n t/\varphi} \psi_n(x)\psi_n^*(y)$$

推论C14-2.4：熵流方程

陈述: 信息熵演化

$$\frac{dS}{dt} = \varphi^{-1} S(1 - S/S_{max}) + \sigma$$

其中$\sigma$是熵产生率。

Lyapunov函数:

$$V(S) = S_{max}\ln(S/S_{max}) - S + S_{max}$$

推论C14-2.5：同步临界条件

陈述: Kuramoto同步的临界耦合

$$\lambda_c = \frac{1}{\varphi \cdot \lambda_{max}(A)}$$

线性稳定性:

$$\text{Re}(\mu_{max}) < 0 \iff \lambda > \lambda_c$$

算法规范

Algorithm: PhiInformationPropagation

输入:

• 邻接矩阵 $A \in \{0,1\}^{N \times N}$
• 初始分布 $I_0 \in \mathcal{I}$
• 时间步数 $T$
• 模式 $\in \{\text{discrete}, \text{continuous}\}$

输出:

• 轨迹 $\{I_t\}_{t=0}^T$
• 熵序列 $\{S_t\}_{t=0}^T$
• 收敛速率 $\rho$

不变量:

1. $\sum_i I_t(i) = \text{const}$ (守恒)
2. $S_t \leq S_{t+1}$ (熵增)
3. $||I_t|| \leq ||I_0|| \cdot \varphi^{-t/\tau}$ (衰减)

核心迭代

function propagate_step(I_current, P_phi, t):
    # φ-加权传播
    I_next = P_phi @ I_current
    
    # 时间衰减
    decay_factor = phi^(-t/tau)
    I_next *= decay_factor
    
    # 熵计算
    p = I_next / sum(I_next)
    S = -sum(p * log2(p))
    
    return I_next, S

验证条件

V1: 传播速度验证

$$\left|\frac{||I_{t+1}||}{||I_t||} - \varphi^{-1/\tau}\right| < \epsilon$$

V2: 容量界验证

$$C_{total} \leq N \cdot \log_2\varphi \cdot \bar{d} + O(\log N)$$

V3: 扩散核归一化

$$\int_{\mathcal{X}} G(x, y; t) dy = 1, \forall x, t$$

V4: 熵单调性

$$S_{t+1} - S_t \geq 0, \forall t$$

V5: 同步阈值

$$|\lambda_c^{empirical} - \lambda_c^{theory}| < 0.1 \lambda_c^{theory}$$

复杂度分析

时间复杂度

• 单步传播: $O(|E|)$ 稀疏矩阵乘法
• T步演化: $O(T \cdot |E|)$
• 熵计算: $O(N)$
• 扩散核: $O(N^2)$
• 同步分析: $O(N^3)$ 特征值计算

空间复杂度

• 转移矩阵: $O(|E|)$ 稀疏存储
• 信息分布: $O(N)$
• 轨迹存储: $O(T \cdot N)$

并行化潜力

$$\text{Speedup} \leq \min(N, P) \cdot \varphi^{-1}$$

其中$P$是处理器数。

数值稳定性

条件数

转移矩阵条件数：

$$\kappa(P_{\varphi}) \leq \varphi \cdot \kappa(A)$$

误差传播

$$||e_{t+1}|| \leq \varphi^{-1} ||e_t|| + \epsilon_{machine}$$

数值格式

推荐使用隐式格式：

$$I_{t+1} = (I - \Delta t \cdot L_{\varphi})^{-1} I_t$$

其中$L_{\varphi}$是φ-调制Laplacian。

实现要求

数据结构

1. CSR格式稀疏矩阵（转移矩阵）
2. Dense向量（信息分布）
3. 循环缓冲区（轨迹存储）

优化策略

1. 矩阵向量乘法向量化
2. 熵计算的增量更新
3. 稀疏模式利用
4. 缓存友好的内存访问

边界处理

1. 零信息节点跳过
2. 数值下溢保护
3. 归一化数值稳定性

测试规范

单元测试

1. Fibonacci权重正确性
2. 转移矩阵行随机性
3. 熵计算准确性
4. 守恒律验证

收敛测试

1. 传播速度的φ-衰减
2. 稳态分布存在性
3. 熵的渐近行为
4. 同步转变

缩放测试

1. $N = 10^2, 10^3, 10^4$网络
2. 稀疏度影响
3. 初始条件敏感性
4. 长时间稳定性

鲁棒性测试

1. 噪声扰动
2. 网络动态变化
3. 节点失效
4. 数值精度影响

理论保证

存在唯一性

信息传播方程存在唯一解

熵增原理

$S(t)$单调不减，符合热力学第二定律

收敛性

$\lim_{t \to \infty} I(t) = I^*$存在（稳态）

稳定性

小扰动指数衰减，Lyapunov稳定

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形式化验证清单:

• 传播算子谱性质
• 容量界的紧致性
• 扩散核的正定性
• 熵流方程适定性
• 同步临界值准确性
• 数值格式收敛阶
• 并行算法正确性
• 长时间数值稳定性