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C1-3: 信息密度推论（Information Density Corollary）

核心陈述​

φ-表示系统在no-consecutive-1s约束条件下达到最大信息密度，其渐近密度为log_2(φ)。

形式化框架​

1. 信息密度定义​

定义 C1-3.1（信息密度）： 对于长度为n的编码系统，信息密度定义为：

ρ(n)=log⁡2(∣Sn∣)/n\rho(n) = \log_2(|S_n|) / n

其中|S_n|是n位系统中有效状态的数量。

定义 C1-3.2（渐近信息密度）：

ρ∞=lim⁡n→∞ρ(n)\rho_\infty = \lim_{n\to\infty} \rho(n)

2. φ-表示的信息密度​

性质 C1-3.1（状态计数）： n位φ-表示系统的有效状态数：

∣Sn∣=Fn+2|S_n| = F_{n+2}

其中FkF_k是第k个Fibonacci数。

性质 C1-3.2（密度公式）：

ρϕ(n)=log⁡2(Fn+2)/n\rho_\phi(n) = \log_2(F_{n+2}) / n

3. 渐近性质​

性质 C1-3.3（渐近密度）：

lim⁡n→∞ρϕ(n)=log⁡2(ϕ)\lim_{n\to\infty} \rho_\phi(n) = \log_2(\phi)

其中ϕ=(1+5)/2\phi = (1 + \sqrt{5}) / 2。

性质 C1-3.4（收敛速率）：

∣ρϕ(n)−log⁡2(ϕ)∣=O(1/n)|\rho_\phi(n) - \log_2(\phi)| = O(1/n)

4. 最优性​

性质 C1-3.5（约束下的最优性）： 在所有满足no-consecutive-1s约束的编码系统中，φ-表示达到最大信息密度。

性质 C1-3.6（与无约束比较）：

  • 无约束二进制：ρ_binary = 1
  • φ-表示：ρ_φ = log_2(φ) ≈ 0.694
  • 密度比：ρ_φ / ρ_binary ≈ 0.694

完整推论陈述​

推论 C1-3（信息密度）： φ-表示系统具有以下信息密度性质：

  1. 信息密度ρ(n)=log⁡2(Fn+2)/n\rho(n) = \log_2(F_{n+2}) / n
  2. 渐近密度收敛到log⁡2(ϕ)≈0.694\log_2(\phi) \approx 0.694
  3. 在no-consecutive-1s约束下达到最大密度
  4. 密度与编码长度的权衡是最优的
  5. 提供了约束系统的信息论极限

验证要点​

机器验证检查点：​

  1. 密度计算验证

    • 验证不同长度的信息密度
    • 检查密度公式的正确性

  2. 渐近收敛验证

    • 验证密度收敛到log_2(φ)
    • 检查收敛速率

  3. 最优性验证

    • 比较不同约束下的密度
    • 验证φ-表示的最优性

  4. 熵分析验证

    • 计算系统熵
    • 验证熵密度性质

  5. 理论极限验证

    • 验证信息论界限
    • 确认达到理论极限

Python实现要求​

class InformationDensityVerifier:
    def __init__(self, max_n: int = 20):
        self.max_n = max_n
        self.phi = (1 + math.sqrt(5)) / 2
        
    def compute_density(self, n: int) -> float:
        """计算n位系统的信息密度"""
        # ρ(n) = log_2(F_{n+2}) / n
        pass
        
    def verify_asymptotic_density(self) -> Dict[str, float]:
        """验证渐近密度"""
        # 验证lim ρ(n) = log_2(φ)
        pass
        
    def verify_optimality(self) -> Dict[str, bool]:
        """验证最优性"""
        # 验证在约束下的最优性
        pass
        
    def compute_entropy(self, n: int) -> float:
        """计算系统熵"""
        # H(n) = log_2(F_{n+2})
        pass
        
    def compare_with_other_systems(self) -> Dict[str, any]:
        """与其他系统比较"""
        # 比较不同约束系统的密度
        pass

理论意义​

此推论证明了：

  1. φ-表示达到了约束编码的信息论极限
  2. 黄金比例在信息密度中的基础作用
  3. 约束与密度之间的最优权衡
  4. 自然系统倾向于最优信息编码