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C1-1: 唯一编码推论（Unique Encoding Corollary）

核心陈述​

在φ-表示系统中，每个状态都有唯一的二进制编码表示，编码映射是双射。

形式化框架​

1. 基本定义​

定义 C1-1.1（编码唯一性）： 对于φ-表示系统，编码映射φ满足：

∀s ∈ S, ∃!b ∈ {0,1}ⁿ: φ(s) = b ∧ valid_φ(b)

其中valid_φ(b)表示b满足no-consecutive-1s约束。

2. 双射性质​

性质 C1-1.1（单射性）：

∀s₁,s₂ ∈ S: s₁ ≠ s₂ ⟹ φ(s₁) ≠ φ(s₂)

性质 C1-1.2（满射性）：

∀b ∈ {0,1}ⁿ: valid_φ(b) ⟹ ∃s ∈ S: φ(s) = b

3. 编码长度​

性质 C1-1.3（长度确定性）： 对于n位φ-表示系统，所有有效编码的长度都是n。

4. 解码唯一性​

性质 C1-1.4（逆映射唯一性）：

φ⁻¹: {b ∈ {0,1}ⁿ | valid_φ(b)} → S

是良定义的单值函数。

完整推论陈述​

推论 C1-1（唯一编码）： 在φ-表示系统中：

  1. 每个状态s有唯一的编码φ(s)
  2. 每个有效编码b对应唯一的状态φ⁻¹(b)
  3. 编码映射φ是双射
  4. 编码和解码都是确定性过程
  5. 不存在编码冲突或歧义

证明要点​

  1. 从φ-表示定义（D1-8）：

    • φ-表示定义为双射映射
    • 保证了编码的存在性和唯一性

  2. 从编码完备性（T2-2）：

    • 任意状态都可以编码
    • 保证了编码的完备性

  3. 从φ-表示必然性（T2-7）：

    • φ-表示是必然的编码方式
    • 保证了编码的系统性

  4. 从φ-表示完备性（T2-10）：

    • φ-表示覆盖所有可能状态
    • 保证了满射性

验证要点​

机器验证检查点：​

  1. 双射性验证

    • 验证单射：不同状态编码不同
    • 验证满射：所有有效编码都有对应状态

  2. 唯一性验证

    • 对每个状态验证编码唯一
    • 对每个编码验证解码唯一

  3. 完备性验证

    • 验证所有状态都可编码
    • 验证所有有效编码都可解码

  4. 一致性验证

    • 验证φ∘φ⁻¹ = id
    • 验证φ⁻¹∘φ = id

  5. 约束保持

    • 验证编码满足no-consecutive-1s
    • 验证解码结果是有效状态

Python实现要求​

class UniqueEncodingVerifier:
    def __init__(self, n: int):
        self.n = n
        self.phi_system = PhiRepresentationSystem(n)
        
    def verify_bijection(self) -> Dict[str, bool]:
        """验证双射性质"""
        # 验证单射和满射
        pass
        
    def verify_uniqueness(self) -> Dict[str, bool]:
        """验证唯一性"""
        # 验证编码和解码的唯一性
        pass
        
    def verify_completeness(self) -> bool:
        """验证完备性"""
        # 验证所有状态都可编码
        pass
        
    def verify_consistency(self) -> bool:
        """验证一致性"""
        # 验证往返映射是恒等
        pass

应用意义​

此推论保证了：

  1. 信息编码的无歧义性
  2. 数据存储的可靠性
  3. 通信系统的确定性
  4. 量子态编码的唯一性