T3-5: 量子纠错定理

定理陈述

定理 T3-5（量子纠错定理）：在自指完备系统中，必然存在量子纠错机制以保护信息免受退相干破坏。

设 $|\psi\rangle$ 是逻辑量子态， $\mathcal{E}$ 是环境诱导的错误过程。则存在编码 $\mathcal{C}$ 和纠错操作 $\mathcal{R}$ ，使得：

\mathcal{R} \circ \mathcal{E} \circ \mathcal{C}(|\psi\rangle) = |\psi\rangle

保真度满足： $F = |\langle\psi|\mathcal{R} \circ \mathcal{E} \circ \mathcal{C}(|\psi\rangle)|^2 \geq 1 - \epsilon$

证明：

错误模型的建立：
- 环境作用： $\mathcal{E}(|\psi\rangle) = \sum_i E_i |\psi\rangle \langle\psi| E_i^\dagger$
- 错误算符： $\{E_i\}$ 满足 $\sum_i E_i^\dagger E_i = I$
- 主要错误类型：比特翻转、相位翻转、幅度衰减
编码子空间的构造：
- 逻辑量子比特编码到物理量子比特
- 编码映射： $|\psi\rangle_L \mapsto |\psi\rangle_P = \alpha|000\rangle + \beta|111\rangle$
- 对于 $[3,1,1]$ 码，逻辑态跨越 3 个物理比特
稳定子的确定：
- 稳定子生成元： $\{g_1, g_2, \ldots, g_{n-k}\}$
- 对于 $[3,1,1]$ 码： $g_1 = Z \otimes Z \otimes I$ ， $g_2 = I \otimes Z \otimes Z$
- 逻辑态满足： $g_i |\psi\rangle_L = +|\psi\rangle_L$
错误探测：
- 测量稳定子： $s_i = \langle\psi|g_i|\psi\rangle$
- 错误症状： $\mathbf{s} = (s_1, s_2, \ldots, s_{n-k})$
- 不同错误对应不同症状模式
纠错操作：
- 根据错误症状，应用相应的纠错算符
- 纠错映射： $\mathcal{R}(\mathbf{s}) = R_{\mathbf{s}}$
- 成功纠错条件： $R_{\mathbf{s}} E_i |\psi\rangle_L = |\psi\rangle_L$
自指完备性的保护：
- 系统的自指完备性要求信息的永久保存
- 纠错机制确保重要信息不会因环境作用而丢失
- 这是系统维持其自指性的必要条件
阈值定理：
- 存在错误阈值 $p_{th}$ ，当物理错误率 $p < p_{th}$ 时
- 逻辑错误率随编码长度指数衰减
- 对于局域错误， $p_{th} \approx 10^{-2}$

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此定理表明：