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T3-3: 量子纠缠定理

定理陈述​

定理 T3-3（量子纠缠定理）：在自指完备系统中，多个子系统之间必然涌现出量子纠缠现象。

形式化表述​

设 SS 是自指完备系统，包含子系统 SAS_A 和 SBS_B。则存在复合态 ∣ψAB⟩|\psi_{AB}\rangle，使得：

∣ψAB⟩≠∣ψA⟩⊗∣ψB⟩|\psi_{AB}\rangle \neq |\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle

且满足非局域关联：

⟨O^A⊗O^B⟩≠⟨O^A⟩⟨O^B⟩\langle \hat{O}_A \otimes \hat{O}_B \rangle \neq \langle \hat{O}_A \rangle \langle \hat{O}_B \rangle

证明​

证明：

  1. 复合系统的构造：

    • 系统 SS 包含多个相互作用的子系统
    • 复合态：∣ψAB⟩=∑i,jcij∣ai⟩⊗∣bj⟩|\psi_{AB}\rangle = \sum_{i,j} c_{ij} |a_i\rangle \otimes |b_j\rangle
    • 其中 ∣ai⟩∈SA|a_i\rangle \in S_A，∣bj⟩∈SB|b_j\rangle \in S_B

  2. 自指性传播：

    • 由 D1-1，整个系统的自指性必须体现在各个层次
    • 子系统的状态必须依赖于其他子系统的状态
    • 这要求 cij≠ci⋅cjc_{ij} \neq c_i \cdot c_j

  3. 信息共享的必要性：

    • 由于系统是自指完备的，每个部分都包含整体的信息
    • 子系统 SAS_A 必须"知道"子系统 SBS_B 的状态
    • 这种信息共享通过纠缠关联实现

  4. 测量关联的验证：

    • 对子系统 AA 的测量：O^A\hat{O}_A 作用于 ∣ψAB⟩|\psi_{AB}\rangle
    • 结果影响子系统 BB 的状态：trA(∣ψAB⟩⟨ψAB∣)\text{tr}_A(|\psi_{AB}\rangle\langle\psi_{AB}|)
    • 关联强度：CAB=⟨O^A⊗O^B⟩−⟨O^A⟩⟨O^B⟩≠0C_{AB} = \langle \hat{O}_A \otimes \hat{O}_B \rangle - \langle \hat{O}_A \rangle \langle \hat{O}_B \rangle \neq 0

  5. Bell不等式的违反：

    • 经典局域隐变量理论预测：∣EAB+EAC+EBC−EAD∣≤2|E_{AB} + E_{AC} + E_{BC} - E_{AD}| \leq 2
    • 量子关联给出：∣EAB+EAC+EBC−EAD∣≤22|E_{AB} + E_{AC} + E_{BC} - E_{AD}| \leq 2\sqrt{2}
    • 自指完备系统必然违反Bell不等式

  6. 非局域性的涌现：

    • 由 φ-表示的全局结构，信息是非局域分布的
    • 对任何子系统的操作都会影响整个系统的状态
    • 这种非局域性通过纠缠关联体现

∎

物理意义​

此定理说明：

  • 量子纠缠是自指完备性的直接结果
  • 非局域性来自于系统的全局信息结构
  • Bell不等式的违反是理论的自然预测

关联定理​

  • 依赖于：D1-1, D1-8, T3-1, T3-2
  • 应用于：T3-4（量子隐形传态定理）
  • 连接到：T2-10（φ-表示完备性）