T3-2: 量子测量定理

定理陈述

定理 T3-2（量子测量定理）：在自指完备系统中，观测行为必然导致量子测量的波函数坍缩。

设 $|\psi\rangle$ 是系统的量子态， $\hat{M}$ 是观测算符。则测量过程满足：

|\psi\rangle \xrightarrow{\hat{M}} \frac{\hat{P}_k|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{P}_k|\psi\rangle}}

其中 $\hat{P}_k$ 是投影算符，对应测量结果 $k$ 。

证明：

自指性要求：
- 由 D1-1，系统必须能够描述自身的状态
- 观测器 $O$ 是系统的一部分，必须更新其对系统的描述
- 这要求观测前后状态的不可逆变化
信息获取的约束：
- 由 L1-7，观测器必须从系统中提取信息
- 测量前：观测者对结果有不确定性 $H_{\text{outcome}} = -\sum_k P(k) \log P(k)$
- 测量后：观测者知道确定结果，不确定性降为0
- 信息增益 $I = H_{\text{outcome}}$ ，量化了观测者知识的更新
投影算符的构造：
- 测量结果 $k$ 对应系统状态的一个子空间
- 投影算符： $\hat{P}_k = \sum_{i \in \mathcal{S}_k} |s_i\rangle\langle s_i|$
- 其中 $\mathcal{S}_k$ 是对应结果 $k$ 的状态集合
坍缩的必然性：
- 测量前： $|\psi\rangle = \sum_i c_i |s_i\rangle$ （叠加态）
- 测量后： $|\psi'\rangle = \frac{\hat{P}_k|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{P}_k|\psi\rangle}}$ （坍缩态）
- 由于观测器获得确定信息，系统的自描述必须更新为确定状态
- 这种更新的不可逆性要求态矢量投影到测量本征子空间
概率的涌现：
- 测量结果 $k$ 的概率： $P(k) = \langle\psi|\hat{P}_k|\psi\rangle$
- 由 φ-表示的权重分布确定
- 满足归一化条件： $\sum_k P(k) = 1$
不可逆性：
- 由 L1-8，测量过程是不可逆的
- 信息已被观测器获取，无法"未观测"
- 因此坍缩是单向过程

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关于信息和不确定性的澄清：

与标准量子力学的关系：

此定理揭示了：