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D1-2：二进制表示定义

定义概述​

二进制表示是自指完备系统中信息编码的基础形式。该定义建立在D1-1自指完备性的基础上，为后续的约束条件和φ-表示系统提供数学基础。

形式化定义​

定义1.2（二进制表示）​

对于自指完备系统S，其二进制表示定义为：

BinaryRep(S)≡∃Encode:S→{0,1}∗ 满足四个条件：\text{BinaryRep}(S) \equiv \exists \text{Encode}: S \to \{0,1\}^* \text{ 满足四个条件：}

条件1：编码完整性（唯一可解码性）

∀s1,s2∈S:s1≠s2⇒Encode(s1)≠Encode(s2)\forall s_1, s_2 \in S: s_1 \neq s_2 \Rightarrow \text{Encode}(s_1) \neq \text{Encode}(s_2)

编码函数在S上是单射的。

条件2：前缀自由性（即时可解码）

∀s1,s2∈S:Encode(s1) 不是 Encode(s2) 的前缀\forall s_1, s_2 \in S: \text{Encode}(s_1) \text{ 不是 } \text{Encode}(s_2) \text{ 的前缀}

任何码字都不是其他码字的前缀。

条件3：自嵌入性（自指完备性要求）

Encode∈Domain(Encode)∧Encode(Encode)∈Range(Encode)\text{Encode} \in \text{Domain}(\text{Encode}) \land \text{Encode}(\text{Encode}) \in \text{Range}(\text{Encode})

编码函数能够编码自身。

条件4：编码封闭性

Encode(s)∈{0,1}∗⊆L⊆S\text{Encode}(s) \in \{0,1\}^* \subseteq \mathcal{L} \subseteq \mathcal{S}

编码结果是形式语言的元素，也是可能的系统状态。

基本性质​

性质1.2.1（编码空间）​

二进制字符串空间{0,1}∗\{0,1\}^*包括：

  • 空串：ε\varepsilon
  • 有限长度串：{0,1}n\{0,1\}^n for all n≥1n \geq 1
  • 所有有限二进制串的集合

性质1.2.2（解码存在性）​

若Encode\text{Encode}满足定义1.2的四个条件，则存在解码函数：

Decode:Range(Encode)→S\text{Decode}: \text{Range}(\text{Encode}) \to S

使得Decode∘Encode=idS\text{Decode} \circ \text{Encode} = \text{id}_S

性质1.2.3（长度下界）​

对于包含∣S∣|S|个状态的系统，任何满足条件1-2的编码必须满足：

max⁡s∈S∣Encode(s)∣≥⌈log⁡2∣S∣⌉\max_{s \in S} |\text{Encode}(s)| \geq \lceil \log_2 |S| \rceil

性质1.2.4（自指对偶性）​

在二进制表示中，符号0和1构成完全对偶：

0≡¬1,1≡¬00 \equiv \neg 1, \quad 1 \equiv \neg 0

这种对偶性反映了自指系统的内在对称性。

符号约定​

  • {0,1}∗\{0,1\}^*：所有有限长度二进制串的集合
  • ∣s∣|s|：字符串s的长度
  • ε\varepsilon：空字符串
  • s1∘s2s_1 \circ s_2：字符串连接
  • prefix(s1,s2)\text{prefix}(s_1, s_2)：s1s_1是s2s_2的前缀

与其他定义的关系​

依赖关系​

  • 基于：D1-1 (自指完备性定义)
  • 支持：D1-3 (no-11约束定义)，D1-8 (φ-表示定义)

引用文件​

  • 引理L1-2将证明二进制基底的必然性
  • 定理T2-2将证明二进制表示的唯一性
  • 推论C2-1将建立二进制同构性质

形式化特征：

  • 类型：定义 (Definition)
  • 编号：D1-2
  • 状态：完整形式化定义
  • 验证：符合严格定义标准

注记：本定义提供二进制表示的形式化框架，所有必然性证明和推导将在相应的引理和定理文件中完成。