C2-3: 信息守恒推论

推论陈述

推论 C2-3（信息守恒推论）：在自指完备系统中，总信息量在系统演化过程中保持守恒。

设 $S(t)$ 是系统在时刻 $t$ 的状态， $I(t)$ 是对应的信息量。则：

\frac{dI}{dt} = 0

但信息的分布可能发生变化：

I_{\text{total}}(t) = I_{\text{system}}(t) + I_{\text{observer}}(t) = \text{constant}

证明：

信息量的定义：
- 由 D1-8，系统状态的信息量： $I(s) = \log_2 |\mathcal{S}(s)|$
- 其中 $\mathcal{S}(s)$ 是与状态 $s$ 兼容的状态集合
- 总信息量： $I_{\text{total}} = \sum_i I(s_i)$
演化过程的分析：
- 系统演化由自指映射 $\phi: S(t) \to S(t+dt)$ 驱动
- 由 D1-1， $\phi$ 保持系统的自指完备性
- 因此 $\phi$ 是信息保持的
信息重新分布：
- 观测过程： $I_{\text{system}} \to I_{\text{system}}' + I_{\text{observer}}$
- 由 C2-1，观测器获取信息： $\Delta I_{\text{observer}} > 0$
- 系统信息相应减少： $\Delta I_{\text{system}} < 0$
- 但总和保持不变： $\Delta I_{\text{total}} = 0$
熵的对应：
- 信息量与熵的关系： $I = -S$ （符号相反）
- 由 T1-1（熵增必然性定理）， $\frac{dS}{dt} \geq 0$
- 因此 $\frac{dI}{dt} \leq 0$ （信息量可能减少）
守恒的解释：
- 表面上信息量减少，实际上是信息变得"不可访问"
- 不可访问的信息存储在系统与观测器的关联中
- 总信息量（包括关联信息）保持守恒
量子信息的类比：
- 类似于量子力学中的幺正演化保持信息
- 纠缠态的信息分布在子系统间
- 局部信息可能减少，但总信息守恒
编码层面的守恒：
- φ-表示的总"编码容量"不变
- 编码长度的总和保持常数
- 编码的重新分配不改变总容量

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此推论说明：